Gaußalgorithmus < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Mo 29.11.2010 | | Autor: | sarte |
| Aufgabe | | Siehe Aufgabenstellung: https://matheraum.de/read?i=742434&mrsessionid=13add47ce6b4fe7463060f7c1fe3ec9fa0655aeb |
Hallo Leute,
irgendwie verstehe ich nicht, was die Aufgabensteller von mir wollen.
Ich habe eine Teilmenge M des [mm] \IR^{3} M_{\beta}:=\left\{\vektor{2 \\ 3 \\ 3}, \vektor{5 \\ 7 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ \beta}\right\} [/mm] für [mm] \beta \in \IR [/mm]
Jetzt lautet die Aufgabe: Bestimmen Sie mit Hilfe des Gaußalgorithmus alle [mm] \beta \in \IR, [/mm] für die jeder Vektor [mm] \vektor{u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3}} \in \IR^{3} [/mm] in span( [mm] M_{\beta} [/mm] ) enthalten ist.
Was heißt das wörtlich für mich:
span( [mm] M_{\beta} [/mm] ) ist nichts anderes als: span(Vektor1(V1), V2, V3) somit := [mm] \{\lambda_{1}*V1+\lambda_{2}*V2+\lambda_{3}*V3\}
[/mm]
So und der Vektor [mm] \vektor{u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3}} [/mm] ist enthalten, also span(M) = Vektor U??
Somit:
[mm] \lambda_{1}*\vektor{2 \\ 3 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\vektor{5 \\ 7 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda_{3}*\vektor{0 \\ 1 \\ \beta} [/mm] = [mm] \vektor{u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3}}
[/mm]
So und wie soll ich damit rechnen, bzw den Gauß verwenden?
Wahrscheinlich ist es ein dummer Gedankenfehler von mir, aber kann mir jemand helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Mo 29.11.2010 | | Autor: | sarte |
Keiner eine Idee?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Mo 29.11.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
du hast doch die schönen 3 Unbekannten [mm] \lambda_i
[/mm]
nach denen auflösen, daraus die Bedingung(en) für [mm] \/beta, [/mm] denn es soll ja lösungen für alle Vektoren u geben.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mo 29.11.2010 | | Autor: | sarte |
hmm ich weiß nicht ob das z.B. gehen würde:
[mm] \vmat{ 2 & 5 & 0 & 0 \\ 3 & 7 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & \beta & 0 }
[/mm]
das kann man in Zeilenstufenform umwandeln mit Gauß
[mm] \vmat{ 1 & \bruch{5}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & \beta -13 & 0 }
[/mm]
Kann man jetzt sagen, z.b. :
u3= [mm] \beta [/mm] -13
u2= 2*x3 => [mm] 2*(\beta-13) [/mm] => [mm] 2*\beta [/mm] - 26
u1 = - 5/2 * x2 => -5/2 * [mm] (2*\beta [/mm] -26) => [mm] \bruch{-5*2\beta}{2} [/mm] + [mm] \bruch{5*26}{2}
[/mm]
Kann sowas hinhauen? Finde, das irgendwie komisch...^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mo 29.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deinem GA müsste doch rechts u1,u2,u3 und nicht 0,0,0 stehen.
Du zeigst die Vektoren sind lin unabh wenn dein GS indem ja die unbekannten di [mm] \lambda_i [/mm] sind , wenn du keine lösg ausser [mm] \lambda_i=0 [/mm] findest.
wenn sie allerdings lin. unabh. sind, dann kann man auch jeden Vektor in [mm] \IR^3 [/mm] aus ihnen lin.kombinieren. du hat also die aufgabe iii) (ein anderer frager hatte die ganze aufgabe gepostet!) gelöst und damit auch i und ii
wenn du noch /beta richtig bestimmst.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mo 29.11.2010 | | Autor: | sarte |
Danke Leduart für die Antworten,
aber ich muss gestehen, ich bin sogesehen wieder beim Anfang.
Ich soll dies hier mit den Gaußalgorithmus lösen:
[mm] \vmat{ 2 & 5 & 0 & u1 \\ 3 & 7 & 1 & u2 \\ 3 & 1 & \beta & u3 }
[/mm]
Aber wie soll ich das machen?
Wenn ich das so machen würde, wie immer um Gleichungen zulösen, wird die letzte Spalte extrem groß, weil es ja keine Zahlen sind...
Und die letzte Zeile bei der letzen Spalte wo [mm] \beta [/mm] ist, macht mir auch kopfschmerzen...
Wie soll ich jetzt vorgehen?
Edit1:
Ich habe noch eine Idee. Wenn [mm] \beta [/mm] den Wert 13 hat, dann sind ja die Vektoren linear abhängig, somit kann man doch in i) sagen, dass es für alle [mm] \beta [/mm] gilt außer für 13 und antwortet somit für ii) auch oder liege ich da komplett falsch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Di 30.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab die gleicungen nicht überprüft, wenn sie so enden mit [mm] \beta-13 [/mm] in der letzten zeile, sind die Vektoren lin unabh. falls [mm] \beta\ne13 [/mm] und damit kann man jeden Vektoe in [mm] R^3 [/mm] darstellen.
und du bist fertig. du musst das nur entsprechend für i,ii,iii hinschreiben.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Di 30.11.2010 | | Autor: | sarte |
Okay tausend dank leduart.
|
|
|
|
