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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo! 
Ich kämpfe mich gerade durch dieses Gleichungssystem durch und das einzige was ich im Moment eliminiere, sind wohl meine Nerven...
Ich setze die Gleichung in eine Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & -5 & -2 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5 \\ 2 & 6 & 0 & 8 & 4 & 18 & 6 }
[/mm]
Sorry, wenn ich nicht den vollständigen Lösungsweg poste, da die einzelnen Gleichungen aber nicht symmetrisch angezeigt werden, schreibe ich zur besseren Übersicht den letzten Stand der Dinge nieder, also dort wo ich nicht mehr weiterkomme:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + 0 + [mm] 4x_{4} [/mm] + [mm] 2x_{5} [/mm] + [mm] 6x_{6} [/mm] = 2
[mm] x_{3} [/mm] + [mm] 2x_{4} [/mm] + [mm] 3x_{6} [/mm] = 1
0 = 0
[mm] 30x_{6} [/mm] = 10
Genau an der Stelle weiß ich nicht mehr weiter.
Vielen Dank für Eure Mühe! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Gruß
el_grecco
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo el_grecco,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo!
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> Ich kämpfe mich gerade durch dieses Gleichungssystem durch
> und das einzige was ich im Moment eliminiere, sind wohl
> meine Nerven...
>
> Ich setze die Gleichung in eine Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & -5 & -2 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5 \\ 2 & 6 & 0 & 8 & 4 & 18 & 6 }[/mm]
>
> Sorry, wenn ich nicht den vollständigen Lösungsweg poste,
> da die einzelnen Gleichungen aber nicht symmetrisch
> angezeigt werden, schreibe ich zur besseren Übersicht den
> letzten Stand der Dinge nieder, also dort wo ich nicht mehr
> weiterkomme:
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] + 0 + [mm]4x_{4}[/mm] + [mm]2x_{5}[/mm] + [mm]6x_{6}[/mm] = 2
> [mm]x_{3}[/mm] + [mm]2x_{4}[/mm] + [mm]3x_{6}[/mm] = 1
> 0 = 0
> [mm]30x_{6}[/mm] = 10
Eliminiere die Variable [mm]x_{6}[/mm] aus der 1 und 2. Zeile.
[mm]1*x_{1} + 3*x_{2} - 2*x_{3} + 4*x_{4} + 2*x_{5} + 0*x_{6} = 0[/mm]
[mm]0*x_{1} + 0*x_{2} + 1*x_{3} + 2*x_{4} + 0*x_{5} + 3*x_{6} = 1[/mm]
[mm]0*x_{1} + 0*x_{2} + 0*x_{3} + 0*x_{4} + 0*x_{5} + 0*x_{6} = 0[/mm]
[mm]0*x_{1} + 0*x_{2} + 1*x_{3} + 2*x_{4} + 0*x_{5} + 30*x_{6} = 10[/mm]
Von diesen Gleichungen ist zunächst die 2. Gleichung
mit 2 multipliziert, und zur 1. Gleichung hinzuaddiert worden.
Das kann man zwar machen, ist aber nicht so vorteilhaft.
Besser beginnt man hier mit der letzten Spalte,
eliminiert also die Variable [mm]x_{6}[/mm] aus der 1. und 2. Gleichung.
Dann kann man die Variable [mm]x_{3}[/mm] aus der 1. Gleichung eliminieren.
>
> Genau an der Stelle weiß ich nicht mehr weiter.
>
> Vielen Dank für Eure Mühe!
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruss
MathePower
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Danke, MathePower.
Ich hoffe ich habe jetzt alles richtig verstanden und der Lösungsweg ist richtig. Ausgehend von:
[mm] 1x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] - [mm] 2x_{3} [/mm] + [mm] 0x_{4} [/mm] + [mm] 2x_{5} [/mm] + [mm] 0x_{6} [/mm] = 0 (1)
[mm] 0x_{1} [/mm] + [mm] 0x_{2} +1x_{3} [/mm] + [mm] 2x_{4} [/mm] + [mm] 0x_{5} [/mm] + [mm] 3x_{6} [/mm] = 1 (2)
[mm] 0x_{1} [/mm] + [mm] 0x_{2} [/mm] + [mm] 0x_{3} [/mm] + [mm] 0x_{4} [/mm] + [mm] 0x_{5} [/mm] + [mm] 0x_{6} [/mm] = 0 (3)
[mm] 0x_{1} [/mm] + [mm] 0x_{2} [/mm] + [mm] 0x_{3} [/mm] + [mm] 0x_{4} [/mm] + [mm] 0x_{5} [/mm] + [mm] 30x_{6} [/mm] = 10 (4)
[mm] 1x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] -2x_{3} [/mm] + [mm] 0x_{4} [/mm] + [mm] 2x_{5} [/mm] + [mm] 0x_{6} [/mm] = 0
[mm] 0x_{1} [/mm] + [mm] 0x_{2} +1x_{3} [/mm] + [mm] 2x_{4} [/mm] + [mm] 0x_{5} [/mm] + [mm] 0x_{6} [/mm] = 0 [mm] (2)-\bruch{1}{10}\*(4)
[/mm]
[mm] 0x_{1} [/mm] + [mm] 0x_{2} [/mm] + [mm] 0x_{3} [/mm] + [mm] 0x_{4} [/mm] + [mm] 0x_{5} [/mm] + [mm] 0x_{6} [/mm] = 0
[mm] 0x_{1} [/mm] + [mm] 0x_{2} [/mm] + [mm] 0x_{3} [/mm] + [mm] 0x_{4} [/mm] + [mm] 0x_{5} [/mm] + [mm] 30x_{6} [/mm] = 10
[mm] 1x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] 0x_{3} [/mm] + [mm] 4x_{4} [/mm] + [mm] 2x_{5} [/mm] + [mm] 0x_{6} [/mm] = 0 [mm] (1)+2\*(2)
[/mm]
[mm] 0x_{1} [/mm] + [mm] 0x_{2} +1x_{3} [/mm] + [mm] 2x_{4} [/mm] + [mm] 0x_{5} [/mm] + [mm] 0x_{6} [/mm] = 0
[mm] 0x_{1} [/mm] + [mm] 0x_{2} [/mm] + [mm] 0x_{3} [/mm] + [mm] 0x_{4} [/mm] + [mm] 0x_{5} [/mm] + [mm] 0x_{6} [/mm] = 0
[mm] 0x_{1} [/mm] + [mm] 0x_{2} [/mm] + [mm] 0x_{3} [/mm] + [mm] 0x_{4} [/mm] + [mm] 0x_{5} [/mm] + [mm] 30x_{6} [/mm] = 10
Allerdings weiß ich nicht, ob das vollständig ist, oder nicht doch noch weitergerechnet werden kann?
Daraus ergibt sich dann (sofern alles stimmt und vollständig ist):
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & 4 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 30 & 10 }
[/mm]
Danke! 
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Danke, MathePower.
>
> Ich hoffe ich habe jetzt alles richtig verstanden und der
> Lösungsweg ist richtig. Ausgehend von:
>
> [mm]1x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]2x_{3}[/mm] + [mm]0x_{4}[/mm] + [mm]2x_{5}[/mm] + [mm]0x_{6}[/mm] = 0
> (1)
> [mm]0x_{1}[/mm] + [mm]0x_{2} +1x_{3}[/mm] + [mm]2x_{4}[/mm] + [mm]0x_{5}[/mm] + [mm]3x_{6}[/mm] = 1
> (2)
> [mm]0x_{1}[/mm] + [mm]0x_{2}[/mm] + [mm]0x_{3}[/mm] + [mm]0x_{4}[/mm] + [mm]0x_{5}[/mm] + [mm]0x_{6}[/mm] = 0
> (3)
> [mm]0x_{1}[/mm] + [mm]0x_{2}[/mm] + [mm]0x_{3}[/mm] + [mm]0x_{4}[/mm] + [mm]0x_{5}[/mm] + [mm]30x_{6}[/mm] = 10
> (4)
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> [mm]1x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] + [mm]-2x_{3}[/mm] + [mm]0x_{4}[/mm] + [mm]2x_{5}[/mm] + [mm]0x_{6}[/mm] = 0
> [mm]0x_{1}[/mm] + [mm]0x_{2} +1x_{3}[/mm] + [mm]2x_{4}[/mm] + [mm]0x_{5}[/mm] + [mm]0x_{6}[/mm] = 0
> [mm](2)-\bruch{1}{10}\*(4)[/mm]
> [mm]0x_{1}[/mm] + [mm]0x_{2}[/mm] + [mm]0x_{3}[/mm] + [mm]0x_{4}[/mm] + [mm]0x_{5}[/mm] + [mm]0x_{6}[/mm] = 0
> [mm]0x_{1}[/mm] + [mm]0x_{2}[/mm] + [mm]0x_{3}[/mm] + [mm]0x_{4}[/mm] + [mm]0x_{5}[/mm] + [mm]30x_{6}[/mm] = 10
>
>
>
> [mm]1x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] + [mm]0x_{3}[/mm] + [mm]4x_{4}[/mm] + [mm]2x_{5}[/mm] + [mm]0x_{6}[/mm] = 0
> [mm](1)+2\*(2)[/mm]
> [mm]0x_{1}[/mm] + [mm]0x_{2} +1x_{3}[/mm] + [mm]2x_{4}[/mm] + [mm]0x_{5}[/mm] + [mm]0x_{6}[/mm] = 0
> [mm]0x_{1}[/mm] + [mm]0x_{2}[/mm] + [mm]0x_{3}[/mm] + [mm]0x_{4}[/mm] + [mm]0x_{5}[/mm] + [mm]0x_{6}[/mm] = 0
> [mm]0x_{1}[/mm] + [mm]0x_{2}[/mm] + [mm]0x_{3}[/mm] + [mm]0x_{4}[/mm] + [mm]0x_{5}[/mm] + [mm]30x_{6}[/mm] = 10
>
>
>
> Allerdings weiß ich nicht, ob das vollständig ist, oder
> nicht doch noch weitergerechnet werden kann?
>
> Daraus ergibt sich dann (sofern alles stimmt und
> vollständig ist):
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 0 & 4 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 30 & 10 }[/mm]
Das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt kannst Du die Lösungsmenge angeben.
>
> Danke!
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruss
MathePower
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Danke, MathePower.
Wie genau schreibe ich die Lösungsmenge nieder... Muss ich vorher eine Parametrisierung vornehmen?
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Danke, MathePower.
>
> Wie genau schreibe ich die Lösungsmenge nieder... Muss ich
> vorher eine Parametrisierung vornehmen?
Natürlich mußt Du die freien Variablen entsprechend umbenennen.
Da es hier 3 freie Variablen sind,
kannst Du die Parameter r,s,t verwenden.
Die Lösungsmenge schreibt sich dann wie folgt:
[mm]L=\left\{ \left \pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6}} \in \IR^{6}} \right| \pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6}}=\pmat{... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ...}+r*\pmat{... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ...}+s*\pmat{... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ...}+t*\pmat{... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ ...}, \ r,s,t \in \IR\right\}[/mm]
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruss
MathePower
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Danke MathePower.
Ich glaube ich stehe gerade voll auf dem Schlauch... Ich wäre auf vier freie Variablen gekommen und hätte die Parametrisierung so gestaltet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sorry für meine Zweifel...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo el_grecco,
> Danke MathePower.
>
> Ich glaube ich stehe gerade voll auf dem Schlauch... Ich
> wäre auf vier freie Variablen gekommen und hätte die
> Parametrisierung so gestaltet:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Sorry für meine Zweifel...
Die angeblich "4. freie Variable" [mm]x_{6}[/mm]
ist doch durch die Gleichung
[mm]30*x_{6}=10[/mm]
eindeutig bestimmt.
Somit gibt es nur 3 freie Variablen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Mo 09.11.2009 | | Autor: | el_grecco |
Danke, MathePower.
In der Vorlesung werden einem solche "Feinheiten" leider nicht mitgeteilt...
Gruß
el_grecco
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