Gauß-Algorithmus < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:31 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Schwip |
| Aufgabe | Gegeben ist das lineare Gleichungssystem:
[mm] a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}
[/mm]
[mm] a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}
[/mm]
mit [mm] a_{11}\not=0
[/mm]
a) Überführen Sie das lineare Gleichungssystem mithilfe des Gauß-Algorithmus in ein Dreieckssystem (pivotelement sei [mm] a_{11})
[/mm]
b) Geben Sie die Bedingungen an, die Koeffizienten [mm] a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}, b_{1}, b_{2} [/mm] erfüllen müssen, damit das lineare Gleichungssystem
[mm] b_{1}) [/mm] endeutig lösbar ist
[mm] b_{2}) [/mm] vieldeutig lösbar ist
[mm] b_{3}) [/mm] unlösbar ist
|
Hallo,
ich habe die Aufgabe a) wie folgt gelöst, aber ich denke das es nicht die richtige lösung ist, da gefragt ist es mit dem Gauß-Algorithmus zu lösen!
[mm] a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1} [/mm] * [mm] (a_{22})
[/mm]
[mm] a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2} [/mm] * (- [mm] a_{12})
[/mm]
_______________________________
[mm] a_{11}a_{22}x_{1}+a_{12}a_{22}x_{2}=b_{1}a_{22}
[/mm]
[mm] -a_{21}a_{12}x_{1}-a_{12}a_{22}x_{2}=-b_{2} a_{12}
[/mm]
___________________________________________________
[mm] a_{11}a_{22}x_{1}-a_{21}a_{12}x_{1}=b_{1} a_{22}- b_{2} a_{12} [/mm]
[mm] (a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})*x_{1}=b_{1} a_{22}- b_{2} a_{12}
[/mm]
[mm] x_{1}= b_{1} a_{22}- b_{2} a_{12}/a_{11} a_{22}-a_{21}-b_{2}a_{12}
[/mm]
gleiche Methode für [mm] x_{2}.
[/mm]
für die Aufgabe b) ich kenne die Regeln aber, was ist hier erwartet als Antwort? Muss ich für [mm] a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}, b_{1}, b_{2} [/mm] werte einsetzen?
Ich bin echt durcheinander! bitte um Hilfe!
Besten dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Mi 10.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
du hast es richtig erkannt : die Aufgabe verlangt den Gauß-algo !
also zieh doch mal von der zweiten Gleichung das [mm] $\left( \bruch{a_{21}}{a_{11}}\right)$-fache [/mm] der ersten Zeile ab !
(hierfür muss [mm] a_{11} [/mm] ungleich 0 sein !)
was bekommst du dann als neue zweite Gleichung ?!?
danach kannst du vielleicht auch besser sehen, wann das entspr. (homogene oder inhomogene) system keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen besitzt.
versuchst du dich nochmal ?
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Schwip |
Hallo,
besten dank für die schnelle Antwort, ich bekomme für die neue zweite Gleichung:
[mm] x_{1}+a_{22}x_{2}-a_{12}a_{21}/a_{11}
[/mm]
ist das richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Do 11.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> [mm]x_{1}+a_{22}x_{2}-a_{12}a_{21}/a_{11}[/mm]
>
> ist das richtig?
nicht ganz ich schreibe es nochmal etwas laenger hin:
$ [mm] \left( a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}\right) [/mm] - [mm] \left( \bruch{a_{21}}{a_{11}}\right) [/mm] * [mm] \left( a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2} \right)=b_{2} [/mm] - [mm] \left( \bruch{a_{21}}{a_{11}}\right) *b_1 [/mm] $
so, jetzt multipliziere mal auf der linken Seite aus und fasse alles zusammen was geht - dann wird dir sicher auffallen, was mit [mm] x_1 [/mm] passiert...
(der Sinn vom Gauss-algo ist ja Dreiecksform zu erhlaten, damit man dann von unten nach oben die Variablen durch einsetzen berechnen kann, d.h. deine neue zweite Gleichung hat nur noch eine x-Variable, die man durch die rechte Seite eindeutig bestimmen kann (wenn es denn moeglich ist - aber das ist dann teilaufgabe b) ))
viele Gruesse
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 So 14.01.2007 | | Autor: | Schwip |
Hallo!
ich habe für [mm] x_{2} [/mm] folgendes berechnet:
[mm] x_{2}=a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}/ a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
[/mm]
is das richtig?
Beten Dank! : )
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 So 14.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> [mm]x_{2}=a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}/ a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}[/mm]
>
du hast doch da bestimmt nur Klammern vergessen, oder?!?
also du meinst :
[mm] $x_2=\br{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$
[/mm]
das waere auch richtig, ja.
um mal zu aufgabenteil b) zu kommen:
wann ist [mm] x_2 [/mm] also nicht (eindeutig) loesbar? (der bruch nicht definiert)
um einzusehen, dass [mm] x_2 [/mm] beliebig sein kann, wenn im Zaehler UND Nenner gleichzeitig eine 0 steht, forme ich die Gleichung nochmal zurueck in Dreiecksgestalt:
[mm] $(a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21})*x_2=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$
[/mm]
(beachte auch, dass man gar nicht durch den Klammer-Term teilen duerfte, wenn dieser 0 ist !)
was bedeutet es fuer [mm] x_2, [/mm] wenn:
1) also wenn der Klammer-Term 0 ist, aber die rechte Seite nicht
2) also wenn der Klammer-Term 0 ist und die rechte Seite auch gleich 0
ach so: wenn [mm] x_2 [/mm] eine loesung hat - wie sieht dann die Umformung der ersten Gleichung nach [mm] x_1 [/mm] aus ?
(und was kann man ueber die Loesung fuer [mm] x_1 [/mm] sagen, wenn man ja weiss, dass [mm] $a_{11}$ [/mm] ungleich 0 ist)
viele Gruesse
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 So 14.01.2007 | | Autor: | Schwip |
Hallo,
ist die lösung:
[mm] x_{1}=\bruch{b_{1}a_{22}-b_{2}a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}
[/mm]
richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Mo 15.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal,
> [mm]x_{1}=\bruch{b_{1}a_{22}-b_{2}a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}[/mm]
>
es ist hier aber schon wichtig, dass du darauf achtest, was du bei den Zwischenschritten gemacht hast !
(wenn du eine Gleichung multiplizierst oder teilst, darf der Faktor bzw Divisor nicht 0 sein !!)
ich meinte eigentlich auch eher:
wenn du weisst und welchen bedingungen [mm] x_2 [/mm] oben loesbar ist oder nicht, dann kannst du [mm] x_2 [/mm] ja als gegeben annehmen und dann in die Gleichung :
$ [mm] a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1} [/mm] $
einsetzen, zu :
$ [mm] x_{1}=\br{b_{1}-a_{12}x_{2}}{a_{11}}$
[/mm]
[mm] ($a_{11}$ [/mm] war ungleich 0 angenommen !! )
viele Gruesse
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:12 Mo 15.01.2007 | | Autor: | Schwip |
Hallo DaMenge,
ich habe folgende Ergebnise zur Aufgabe b):
Eindeutig lösbar wenn [mm] a_{22}a_{11}\not=a_{12}a_{21}
[/mm]
Vieldeutig lösbar wenn [mm] a_{22}a_{11}=a_{12}a_{21} [/mm] und [mm] b_{2}a_{11}=b_{1}a_{21} [/mm]
dazu
[mm] a_{22}\not=0 [/mm] und [mm] b_{2}\not=0
[/mm]
Unlösbar wenn: [mm] b_{2}a_{11}- b_{1}a_{21}\not=0 [/mm] und [mm] a_{22}a_{11}- a_{12}a_{22}=0
[/mm]
vielen Dank für deine wertvolle Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mi 17.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
