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| Aufgabe | Wir betrachten ein lineares Gleichungssystem [mm] A*\vec{x}=\vec{b}
[/mm]
a)Bestimmen Sie alle Lösungen für [mm] A=\pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \\ 1 &-1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 }, \vec{b}=\vektor{1 \\ 2 \\ 2 \\ 0 }
[/mm]
mit Hilfe des Gauß-Algorithmus.
b) Bestimme alle Lösungen des zugehörigen homogenen System [mm] A*\vec{x}=0 [/mm] in vektorieller Form.
c) Bestimme die allgemeine Lösung des Systems für [mm] \vec{c}= \vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
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Ich brauche mal etwas Hilfe beim Gauß komme da nicht weiter.
x1 x2 x3 x4
--------------------
1 -1 2 1 [mm] \*(-2) \*(-1) \*(-1)
[/mm]
2 -2 4 2 <- +
1 -1 2 2 <- +
1 -1 0 0 <- +
--------------------
1 -1 2 1
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 -2 -1
--------------------
Wie muss ich jetzt weiter vorgehen um Aufgabenteil a) zu lösen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Do 22.12.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
deine Umformung ist ja soweit richtig.
An der dritten Zeile des umgeformten Gl.sys erkennst du nun, dass es keine Lösung geben kann (warum?), also ist die Lösungsmenge leer.
anders sieht es bei c) aus, denn da sieht die entspr. dritte Zeile ja sauber aus, dann musst du die letzte mit der zweiten Zeile vertauschen und hast dann eine obere Dreiecksmatrix - das System ist unterbestimmt - kommst du damit klar?
bei der b) sieht es ähnlich aus. selbe Umformung, aber die Spalte des Lösungsvektors bleibt natürlich immer vollständig 0, also auch hier ein unterbestimmtes System...
frage nach, wenn du dabei nicht weiter kommst.
viele Grüße
DaMenge
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Hallo,wieso kann es denn keine Lösug bei a) geben??
Und wie sieht dann die Lösung aus??
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Hallo scientyst,
> Hallo,wieso kann es denn keine Lösug bei a) geben??
weil Du da zwei Gleichungen hast, die sich einander widersprechen:
[mm]0\;x_{1}\;+\;0\;x_{2}\;+\;0\;x_{3}\;=\; 0[/mm]
[mm]0\;x_{1}\;+\;0\;x_{2}\;+\;0\;x_{3}\;=\; 1[/mm]
> Und wie sieht dann die Lösung aus??
Die Lösung besteht, wie DaMenge schon schrieb, aus der leeren Menge.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Do 22.12.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi MathePower,
es ist zwar richtig, dass sich hier zufällig zwei Gleichungen widersprechen, aber die Gleichung :
> [mm]0\;x_{1}\;+\;0\;x_{2}\;+\;0\;x_{3}\;=\; 1[/mm]
an sich reicht schon aus um zu sehen, dass es keine Lösung geben kann, denn egal, wie man [mm] x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] wählt, die linke Seite ist dann immer 0 und es kann nicht 1 rauskommen.
Die Theorie, auf die ich eigentlich hinaus wollte war :
Wenn man das inhomogene Gleichungssystem in obere Dreiecksgestalt mit n Gleichungen ungleich 0-Zeile gebracht hat und der Lösungsvektor nach diesen Umformungen noch bis zum k-ten Eintrag ungleich 0 ist (genauer : k ist der letzte Eintrag ungleich 0), dann gilt:
Wenn k>n ist, dann ist das Gleichungssystem aus oben genannten Grund nicht lösbar.
(Kleine Frage zum grübeln (wenn jemand lust hat): was ist mit der Umkehrung?)
Wollte dies also nur zur Vollständigkeit erwähnt haben..
viele Grüße+schöne Feiertage
DaMenge
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Also ist die Lösung zu Aufgabenteil a) Lösungsmenge =leere Menge.
Was mache ich denn bei Aufgabenteil b)????
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Hallo scientyst,
> Also ist die Lösung zu Aufgabenteil a) Lösungsmenge =leere
> Menge.
Ja.
>
> Was mache ich denn bei Aufgabenteil b)????
So vorgehen wie bei a), wobei Du natürlich eine andere rechte Seite hast.
Gruß
MathePower
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Wie schreibe ich denn eine leere Menge mathematisch korrekt als Lösung auf und muss ich dass noch irgendwie Beweisen???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Sa 24.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo scientyst!
Leere Menge: $L \ = \ [mm] \{ \ \ \}$ [/mm] oder $L \ = \ [mm] \emptyset$
[/mm]
Der Beweis der Nichtlösbarkeit wurde ja bereits mit der falschen Aussage $0 \ = \ 1$ erbracht.
Gruß
Loddar
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Wie gehe ich denn jetzt bei Aufgabenteil b) weiter vor??
x1 x2 x3 x4
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1 -1 2 0 /*(-2) /*(-1) /*(-1)
2 0 0 0 <- +
1 0 0 0 <-+
1 0 -2 0 <- +
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1 -1 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 -2 0
-----------------------
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Sa 24.12.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
der Sinn der Dreiecksgestalt ist doch, dass man nun die Variablen von unten nach oben bestimmen kann.
Beispielsweise sieht man doch an der letzten Gleichung, dass [mm] $x_3 [/mm] =0$ gelten muss.
Du hast hier allerdings ein unterbestimmtes Gleichungssystem, d.h. mehr Variablen als (nicht-triviale) Gleichungen.
was heißt das hier genau ?
wenn du [mm] x_3 [/mm] wie eben schon als 0 erkannt hast, dann ist die erste Gleichung umgeformt zu:
[mm] $1*x_1 -1*x_2=0$
[/mm]
Normaler weise erkennt man nun schon, dass dann [mm] x_1=x_2 [/mm] gelten muss, d.h. [mm] $\{ t*\vektor{1\\1\\0} \}$ [/mm] mit t beliebig aus [mm] $\IR$ [/mm] wäre die Lösungsmenge, aber in bezug auf c) schreibe ich mal den allgemeinen ansatz:
du hast also mhr Variablen als Gleichungen, dann kannst du hier eine Variable als "beliebig" annehmen, d.h. setze (z.B.) [mm] $x_2=t$ [/mm] mit t beliebig aus [mm] $\IR$ [/mm] dann steht da :
[mm] $x_1 [/mm] -t=0$ daraus folgt nun [mm] x_1=t [/mm] , d.h alle Lösungen sind [mm] $\{ \vektor{t\\t\\0} \}=\{ t*\vektor{1\\1\\0} \}$
[/mm]
Ist das nachvollziehbar ?
bei der c) machst du einfach die selben Umformungen aber hast wieder andere rechte Seiten, die aber im Gegensatz zu der a) noch lösbar sind!
Und lösen "tust" du sie wieder wie eben - von unten nach oben und wenn du weniger Gleichungen als Variablen hast, dann wähle entspr. viele als "beliebig" und löse dann das restliche System mit diesen..
versuch dich mal
viele Grüße+schöne Feiertage
DaMenge
Jetzt
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