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| Aufgabe | | Eine Ganzrationale Funktion 4. Grades geht durch den Urpsung und hat an der Stelle x=1 einen Wendepunkt mit der Wendetangente y=4x+1 und einen Extremwert bei x=2. Es ist die Gleichung der funktion zu bestimmen. |
Hallo,
muss in Mathe folgende Aufgabe erledigen:
Eine Ganzrationale Funktion 4. Grades geht durch den Urpsung und hat an der Stelle x=1 einen Wendepunkt mit der Wendetangente y=4x+1 und einen Extremwert bei x=2. Es ist die Gleichung der funktion zu bestimmen.
Ich weiß nur wie eine Funktion 4. Grades ausschaut, hab aber keine Ahnung wie ich weitermachen soll, brauche die Lösung aber dringend! Könnt ihr mir da bitte weiterhelfen??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Eine Ganzrationale Funktion 4. Grades geht durch den
> Urpsung und hat an der Stelle x=1 einen Wendepunkt mit der
> Wendetangente y=4x+1 und einen Extremwert bei x=2. Es ist
> die Gleichung der funktion zu bestimmen.
Eben kurz eine Sache: Es genügt, wenn du die Aufgabenstellung oben bei "Aufgabe" mit reinschreibst=)
>
> Ich weiß nur wie eine Funktion 4. Grades ausschaut, hab
> aber keine Ahnung wie ich weitermachen soll, brauche die
> Lösung aber dringend! Könnt ihr mir da bitte
> weiterhelfen??
Na, wenn du weist, wie eine ganzrat. (!) Funtktion 4. Gerades ausschaut, dann biste damit eg schon am Ziel:
[mm] $f(x)=ax^4+bx^3+cx^x+dx+e$
[/mm]
Du brauchst also fünf Informationen, die ich dir hier nochmal aus der Aufgabe aufliste (was du aber auch können musst!):
1) Geht durch den Ursprung (also ein Punkt gegeben)
2) Hat an der Stelle x=1 einen Wendepunkt (Also muss irgendetwas mit der zweiten Ableitung sein)
3) Wendetangente: y=4x+1. Hierdurch ist die Steigung gegebene
4) Durch die Info oben ist dir ein zweiter Punkt gegeben
5) Extremwert bei x=2 (also ist was mit der ersten Ableitung).
Das sind die fünf Infos, die du dann einsetzten musst, und dann gilt es, ein LGS mit Hilfe eines geeigneten Verfahrens zu lösen.
Ich bin mir sicher, dass du das hinbekommst=)
Falls noch irgendwelche Fragen sind, stelle sie.
LG
Kroni
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Also, versteh noch nicht alles ganz. Ich führe jetzt mal meinen bisherigen Lösungsweg auf:
1) Wegen Ursprung: P(0/0)
f(0)=0 daraus folgt: e=1
2) bei x=1 Wendepunkt
f"(1)=0 12a+6b+2c=0
3) Extremwert bei x=2
f'(2)=0 32a+12b+4c+d=0
4) Wendetangente: y=4x+1
f'(0)=4 daraus folgt: d=4
Stimmt das bisher alles so??? Fragen:
verstehe deinen 4. Punkt nicht, warum ist mir durch die Wendetangente ein weiterer Punkt gegeben?? Welcher? Wie muss ich jetzt weiter vorgehen??
Mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Di 10.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> 1) Wegen Ursprung: P(0/0)
>
> f(0)=0 daraus folgt: e=1
[mm] f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e. [/mm] Dann ist f(0)=a0+b0+c0+d0+e=e=0. Also e=0.
> 2) bei x=1 Wendepunkt
>
> f"(1)=0 12a+6b+2c=0
Ja, richtig.
> 3) Extremwert bei x=2
>
> f'(2)=0 32a+12b+4c+d=0
Ja, das ist auch richtig.
> 4) Wendetangente: y=4x+1
>
> f'(0)=4 daraus folgt: d=4
Das geht so nicht. Die Tangente ist eine Garde. Die Tangente von f ist durch die Geradengleichung y=4x+1. Du weißt auch noch, dass der Punkt (1;f(1)) auf dieser Geraden liegt, das ist der Punkt, den die Tangente berührt. D.h. f(1)=4*1+1=5, der Punkt, den die Tangente berührt ist (1;5) und f(1)=5...
2), 3) und 4) ergeben 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Gruß,
dormant
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> Hi!
>
> > 1) Wegen Ursprung: P(0/0)
> >
> > f(0)=0 daraus folgt: e=1
>
> [mm]f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e.[/mm] Dann ist
> f(0)=a0+b0+c0+d0+e=e=0. Also e=0.
Meinte e=0, hab ich ausversehen vertippt.
> > 2) bei x=1 Wendepunkt
> >
> > f"(1)=0 12a+6b+2c=0
>
> Ja, richtig.
>
> > 3) Extremwert bei x=2
> >
> > f'(2)=0 32a+12b+4c+d=0
>
> Ja, das ist auch richtig.
>
> > 4) Wendetangente: y=4x+1
> >
> > f'(0)=4 daraus folgt: d=4
>
> Das geht so nicht. Die Tangente ist eine Garde. Die
> Tangente von f ist durch die Geradengleichung y=4x+1. Du
> weißt auch noch, dass der Punkt (1;f(1)) auf dieser Geraden
> liegt, das ist der Punkt, den die Tangente berührt. D.h.
> f(1)=4*1+1=5, der Punkt, den die Tangente berührt ist (1;5)
> und f(1)=5...
das heisst also f(1)=5, daraus folgt dann: a+b+c+d(+e)=5?
e kann ich ja gleich weglassen, ist ja 0 ??? heisst ich hab jetzt 3 gleichungen und die info das e=0, wie muss ich jetzt verfahren um die werte der anderen variablen herauszufinden?
> 2), 3) und 4) ergeben 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
>
> Gruß,
> dormant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Di 10.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MatheChecker!
Insgesamt müsstest Du nun ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten haben (wenn man die Gleichung $e \ = \ 0$ nicht mitzählt).
Dieses lineare Gleichungssystem kannst Du nun z.B. mit dem  Gauß-Algorithmus lösen.
Gruß
Loddar
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hm, habe 4 unbekannte, aber ja nur 3 gleichungen. kann mir jemand sagen wie ich auf die vierte komme?? verstehe das nicht ganz, bzw. garnicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Di 10.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MatheChecker!
Du hast doch noch die Information mit $x \ = \ 2$ als Extrempunkt:
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f'(2) \ = \ ... \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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ja, diese gleichung hab ich aber schon. habe folgendes:
1) Wegen Ursprung: P(0/0)
f(0)=0 daraus folgt: e=0
2) bei x=1 Wendepunkt
f"(1)=0 daraus folgt: 12a+6b+2c=0
3) Extremwert bei x=2
f'(2)=0 32a+12b+4c+d=0
4) Wendetangente: y=4x+1
f(1)=5 (warum eigentlich f(1)??? wegen x=1 bei wendepunkt???)
daraus folgt: a+b+c+d(+e)=5
und welche gleichung fehlt jetzt noch bzw. wie komme ich auf diese??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Di 10.07.2007 | | Autor: | Kroni |
> ja, diese gleichung hab ich aber schon. habe folgendes:
>
> 1) Wegen Ursprung: P(0/0)
>
> f(0)=0 daraus folgt: e=0
>
> 2) bei x=1 Wendepunkt
>
> f"(1)=0 daraus folgt: 12a+6b+2c=0
>
> 3) Extremwert bei x=2
>
> f'(2)=0 32a+12b+4c+d=0
>
> 4) Wendetangente: y=4x+1
>
> f(1)=5 (warum eigentlich f(1)??? wegen x=1 bei
> wendepunkt???)
Ja, die Wendetangente berührt die Funktion doch im Wendepunkt.
Somit gilt: y=4*1+1=5=f(1)!
>
> daraus folgt: a+b+c+d(+e)=5
>
>
> und welche gleichung fehlt jetzt noch bzw. wie komme ich
> auf diese??
>
Du hast f'(1)=4 nicht beachtet.
Du kommst darauf, indem du weist, dass die Steigung der Wendetangente, also die Tangente des Graphen an der Wendestelle, also bei x=1, gleich der Steigung des Graphen in dem Punkt ist.
Somit gilt: f'(1)=4
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Di 10.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Naja, wenn 1 Wendepunkt ist, dann ist eher f'(1)=0. Die Wendetangente ist eine andere Funktion.
Gruß,
dormant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Di 10.07.2007 | | Autor: | salitos |
Das ist leider nicht richtig. Die Steigung an einem Wendepunkt ist beliebig.
Gruß
Holger
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Di 10.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die erste Ableitung gibt die Steigung der Funktion an.
Wäre f'(1)=0, so wäre an der Stelle x=1 eine potentielle Extremstelle.
Dort soll aber ein Wendepunkt liegen, und die Wendetangente an der Stelle x=1 hat die Steigung 4, somit muss gelten:
f''(1)=0 und f'(1)=4 und nicht f'(1)=0!
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Di 10.07.2007 | | Autor: | salitos |
Die Steigung der Wendetangente kannst du noch als Bedingung verwenden, du hast nur den falschen x-Wert eingesetzt. Damit ist dein Gleichungssystem komplett.
Gruß
Holger
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also: (man is des ne schwere geburt...  )
ich hab jetzt also:
f(x) = [mm] ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e
[/mm]
f'(x) = [mm] 4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d
[/mm]
f''(x) = [mm] 12ax^{2}+6bx+2c
[/mm]
1. wegen Ursprung P(0/0)
f(0)=0 daraus folgt e=0
2. Extremwert bei x=2
f'(2)=0 daraus folgt 32a+12b+4c+d=0
3. Wendepunkt bei x=1
f''(1)=0 daraus folgt 12a+6b+2c=0
4. Wendetangente: y=4x+1
f(1)=4*1+1=5 daraus folgt a+b+c+d=5
f'(1)=4 daraus folgt 4a+3b+2c+d=4
ich habe also insgesamt 4 Gleichungen:
(1) 32a+12b+4c+d=0
(2) 12a+6b+2c=0
(3) a+b+c+d=5
(4) 4a+3b+2c+d=4
Habe mich hingesetzt und versucht ein Gleichungssystem aufzustellen, auch, wie empfohlen wurde, mit Gauß-Algorithmus. Habe aber keine Lösung gefunden.
Kann mir bitte jemand für diese Gleichungen eine komplette Lösung vorgeben? Wäre darüber sehr dankbar, bin mit meinem Latein am Ende und langsam auch ziemlich lustlos weiter zu rätseln.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Di 10.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ne komplette Lösung geb' ich dir nicht, aber ich kanns mal durchn CAS geben:
a=-1
b=4
c=-6
d=8
Versuch das nochmal zu rechnen=)
LG
Kroni
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Entweder es liegt an meiner Müdigkeit oder an allgemeiner Verblödung aber ich steh grade voll auf dem Schlauch.
Kannst du mir nen Ansatz für das Gleichungssystem geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Di 10.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das LGS hsat du dir ja schon selbst vorgegeben (das ist korrekt!).
Dann musst du das einfach so machen:
Die erste Zeile bleibt stehen.
Dann die erste mit der zweiten Kombinieren, um z.B. die Variable "a" zu eliminieren (also mit Additions oder Subtraktionsverfahren), dann Gl.1 mit 3, Gl 1 mit 4. Dann hast du drei GLeichungen mit 3 Unbvekannnten.
Dann Gl. 2 mit 3, um das b zu eliminieren und Gl 2 mit 4, dann haste zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten.
Dann Gl. 3 mit 4 kombinieren, so dass du dann meinetwegen c herausbekommst.
Dann die restlichen Variablen via Rückeinsetzten bekommen.
So muss das gehen.
LG
Kroni
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hm, es lässt sich doch keine variable eliminieren, wenn man 1 und 2 kombiniert. Mein ansatz war jetzt:
(4)-(2): -8a-3b+d=-4
(4)-(1): -28a-9b-2c=-4
(4)-(3): 3a+2b+c=-1
lieg ich da total falsch?? sollte was wahres dran sein, wie kann ich es weitermachen. hab zwar denk ich verstanden was du geschrieben hast aber wenn ich jetzt 1 und 2 kombiniere lässt sich ja keine variable eliminieren??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Mi 11.07.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Also, du hast ja folgendes LGS
[mm] \vmat{32a+12b+4c+d=0\\12a+6b+2c=0\\a+b+c+d=5\\4a+3b+2c+d=4}
[/mm]
Sortier mal um, so dass am ende die Gleichung ohne d steht, und die einfachste oben:
[mm] \vmat{a+b+c+d=5\\32a+12b+4c+d=0\\4a+3b+2c+d=4\\12a+6b+2c=0}
[/mm]
Jetzt GL1.-GL2. und GL1-GL3
[mm] \vmat{a+b+c+d=5\\-31a-11b-3c=5\\-3a-2b-c=1\\12a+6b+2c=0}
[/mm]
Jetzt mal passend multiplizieren, dass du das c herausbekommst.
GL3 mal (-3), GL4 mal [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] \vmat{a+b+c+d=5\\-31a-11b-3c=5\\9a+6b+3c=-3\\18a+9b+3c=0}
[/mm]
Sortier wieder die einfachste nach oben (also an Stelle 2)
[mm] \vmat{a+b+c+d=5\\9a+6b+3c=-3\\-31a-11b-3c=5\\18a+9b+3c=0}
[/mm]
GL2+GL3 und GL2-GL4
[mm] \vmat{a+b+c+d=5\\3a+2b+c=-1\\-22a-5b=5\\-21a-3b=-3}
[/mm]
Jetzt solltest du alleine weiterkommen, ich hoffe mal, ich habe mich nicht verrechnet, das Prinzip sollte aber klar geworden sein.
Marius
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> GL2+GL3 und GL2-GL4
>
> [mm]\vmat{a+b+c+d=5\\3a+2b+c=-1\\-22a-5b=5\\-21a-3b=-3}[/mm]
kanns sein dass du dich da verrechnet hast? habe was anderes raus.
a+b+c+d=5
3a+2b+c=-1
-22a-5b=2
-9a-3b=-3
Habe jetzt die 3. *(-3) und die 4. *(-5) genommen um auf 15b bei beiden zu kommen:
66a+15b=-6
25a+15b=15
Dann hab (3)-(4) gemacht, also kommt raus:
-41a=21 [mm] \:(-41)
[/mm]
daraus folgt: a=-21/41
stimmt des wirklich???
selbst wenns passt weiß ich nicht genau wie ich weitermachen soll, welche gleichungen soll ich jetzt noch hinschreiben und wo muss ich a einsetzen.
Hab probiert es in 25a+15b=15 einzusetzen, kommt aber ziemlicher unsinn dabei raus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Mi 11.07.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > GL2+GL3 und GL2-GL4
> >
> > [mm]\vmat{a+b+c+d=5\\3a+2b+c=-1\\-22a-5b=5\\-21a-3b=-3}[/mm]
>
> kanns sein dass du dich da verrechnet hast? habe was
> anderes raus.
Durchaus möglich. Aber das Prinzip sollte ja klar geworden sein.
>
> a+b+c+d=5
> 3a+2b+c=-1
> -22a-5b=2
> -9a-3b=-3
>
> Habe jetzt die 3. *(-3) und die 4. *(-5) genommen um auf
> 15b bei beiden zu kommen:
>
> 66a+15b=-6
> 25a+15b=15
>
> Dann hab (3)-(4) gemacht, also kommt raus:
>
> -41a=21 [mm]\:(-41)[/mm]
>
> daraus folgt: a=-21/41
>
> stimmt des wirklich???
Wie gesagt, evtl habe ich mich auch verrechnet.
>
> selbst wenns passt weiß ich nicht genau wie ich
> weitermachen soll, welche gleichungen soll ich jetzt noch
> hinschreiben und wo muss ich a einsetzen.
> Hab probiert es in 25a+15b=15 einzusetzen, kommt aber
> ziemlicher unsinn dabei raus
>
Am Ende hast du eine Gleichung, in der nur noch a und b vorkommen, da setzt du dann den WErt für a ein, berechnest damit dann b. Diese Werte für a und b setzt du dann in die Gleichung mit a, b und c ein, berechnest damit dann c und dann in letzten Schritt dein d, indem du die Werte für a,b und c in die erste Gleichung mit allen Variablen einsetzt.
(Jetzt solltest du auch erkennen, warum ich manchmal noch umsortiert habe)
Marius
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ja, das Prinzip ist mir klar, nur kann mir jemand sagen ob ich mit meinen
- 21/41 Recht habe, wenn ich diesen Wert nämlich in eine Gleichung mit a+b einsetze bekomme ich für b dämliche Doppelbrüche raus. Ist die Aufgabe einfach so oder hab ich da nen Fehler gemacht?
kann mir das jemand vielleicht richtig vorgeben?
bekomme für b irgendwie 6/41 raus.
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Hallo, ich verfolge deine wahnsinns Bemühungen seit gestern, eventuell kann ich Dich erlösen, Kroni hatte gestern schon die Lösung gepostet: a=-1, b=4, c=-6, d=8, e=0, da wollen wir jetzt hin, das schaffst Du:
1. GL: 0=32a+12b+4c+d
2. GL: 0=12a+6b+2c
3. GL: 5=a+b+c+d
4. GL: 4=4a+3b+2c+d
2. GL:
0=6a+3b+c
c=-6a-3b
einsetzen in
3. GL:
5=a+b-6a-3b+d
5=-5a-2b+d
d=5+5a+2b
einsetzen in
1. GL:
0=32a+12b+4(-6a-3b)+5+5a+2b
0=32a+12b-24a-12b+5+5a+2b
0=13a+2b+5
2b=-13a-5
[mm] b=-\bruch{13}{2}a-\bruch{5}{2}
[/mm]
einsetzen in 4. GL:
[mm] 4=4a+3(-\bruch{13}{2}a-\bruch{5}{2})+2(-6a-3b)+5+5a+2b
[/mm]
[mm] 4=4a-\bruch{39}{2}a-\bruch{15}{2}-12a-6b+5+5a+2b
[/mm]
[mm] 4=-3a-\bruch{39}{2}a-4b+5-\bruch{15}{2}
[/mm]
[mm] 4=-\bruch{45}{2}a-4b-\bruch{5}{2} [/mm]
[mm] \bruch{13}{2}=-\bruch{45}{2}a-4(-\bruch{13}{2}a-\bruch{5}{2}) [/mm] jetzt b einsetzen
[mm] \bruch{13}{2}=-\bruch{45}{2}a+\bruch{52}{2}a+\bruch{20}{2}
[/mm]
[mm] -\bruch{7}{2}=\bruch{7}{2}a
[/mm]
a=-1 geschafft, berechne jetzt noch die anderen Variablen, beginne mit b, es gibt sicherlich auch Gauß, aber das hattest du da vergeblich probiert, also ganz ganz klassisch
Steffi
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