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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass bei der [mm] $\Gamma$-Funktion [/mm] gilt:
[mm] $$|t^{s-1} \cdot e^{-t}| [/mm] = [mm] t^{\operatorname{Re}(s)-1} \cdot e^{-t}$$ [/mm] |
hi
komme hier an einer Stelle nicht weiter:
Sei $s = a + ib$
Damit gilt
[mm] $|t^{a+ib-1}e^{-t}| [/mm] = [mm] |t^a \cdot t^{-1} \cdot t^{ib} \cdot e^{-t}| [/mm] = [mm] |t^{a-1} \cdot e^{ib\ln t} \cdot e^{-t}|$
[/mm]
soweit so gut, jetzt muss also das [mm] $e^{ib\ln t} [/mm] = 1$ sein und ich bin fertig. In meinen Aufzeichnungen steht was von [mm] $e^{ix}$ [/mm] ist die komplexe Einheitswurzel - irgendwie kann ich damit jetzt nicht sonderlich viel anfangen, und v.a. kann das doch nicht immer der Fall sein...?
Wäre super wenn mir jemand sagen könnte ob, wie und warum das ganze gleich 1 wird - oder ob ich damit eh auf dem völlig falschen Weg bin...
Gruß und Dank, GB
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Hallo GB,
> Zeigen Sie, dass bei der [mm]\Gamma[/mm]-Funktion gilt:
> [mm]|t^{s-1} \cdot e^{-t}| = t^{\operatorname{Re}(s)-1} \cdot e^{-t}[/mm]
>
> hi
>
> komme hier an einer Stelle nicht weiter:
> Sei [mm]s = a + ib[/mm]
> Damit gilt
> [mm]|t^{a+ib-1}e^{-t}| = |t^a \cdot t^{-1} \cdot t^{ib} \cdot e^{-t}| = |t^{a-1} \cdot e^{ib\ln t} \cdot e^{-t}|[/mm]
>
> soweit so gut, jetzt muss also das [mm]e^{ib\ln t} = 1[/mm] sein und
> ich bin fertig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") In meinen Aufzeichnungen steht was von
> [mm]e^{ix}[/mm] ist die komplexe Einheitswurzel - irgendwie kann ich
> damit jetzt nicht sonderlich viel anfangen, und v.a. kann
> das doch nicht immer der Fall sein...?
>
> Wäre super wenn mir jemand sagen könnte ob, wie und warum
> das ganze gleich 1 wird - oder ob ich damit eh auf dem
> völlig falschen Weg bin...
Nein, das ist schon genau richtig.
Für jedes reelle x ist [mm] $\left|e^{ix}\right|=1$.
[/mm]
Denn: [mm] $\left|e^{ix}\right|=\underbrace{|\cos(x)+i\cdot{}\sin(x)|}_{=|\alpha+i\cdot{}\beta| \ ,\alpha,\beta\in\IR}=\underbrace{\sqrt{\sin^2(x)+\cos^2(x)}}_{=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}=1$
[/mm]
Mit [mm] $b\ln(t)\in\IR$ [/mm] ist dann auch [mm] $\left|e^{i\cdot{}b\ln(t)}\right|=1$
[/mm]
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> Gruß und Dank, GB
LG
schachuzipus
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