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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Fr 16.04.2010 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie mit der Stirlingschen Formel die Größenordnung von [mm] $\binom{2n}{n}$ [/mm] für $n [mm] \rightarrow \infty$
[/mm]
b) Für $x,y > 0$ bestimme man [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} \bruch{\Gamma(x+n)}{\Gamma(y+n)}*n^{y-x}$ [/mm] |
Hallo zusammen,
und noch eine Aufgabe die mir Kopfzerbrechen bereitet.
zu a) Der Begriff Größenordnung kam dieses Semester in der Vorlesung noch nicht vor. Ich denke damit ist eine asymptotische Abschätzung mit der Landau-Notation gemeint. Bisher bin ich wie folgt vorgegangen:
$$
[mm] \binom{2n}{n} [/mm] = [mm] \bruch{(2n)!}{n!*(2n-n)!} [/mm] = [mm] \bruch{(2n)!}{n!*n!} [/mm] = [mm] \bruch{(2n)^{2n}*e^{-2n}*\wurzel{2\pi2n}*q_{2n}}{n^n*n^n*e^{-n}*e^{-n}*2\pi n*q_n*q_n} [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] \bruch{4^n*q_{2n}}{\wurzel{\pi n}*q_n*q_n} \Rightarrow \binom{2n}{n} \in O(\bruch{4^n}{\wurzel{n}})
[/mm]
$$
zu b) Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
$$
[mm] \limes_{n \rightarrow \infty} \bruch{\Gamma(x+n)}{\Gamma(y+n)}*n^{y-x} [/mm] = [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} \bruch{(x+n-1)*(x+n-2)*\dots*x*\Gamma(x)}{(y+n-1)*(y+n-2)*\dots*y*\Gamma(y)}*n^{y-x}
[/mm]
$$
Nun muss man sicherlich eine Fallunterscheidung machen. Für $x=y$ ist der Limes gerade 1. Für [mm] $x\not= [/mm] y $ komme ich mit meinen Überlegungen nicht weiter. Ist der Ansatz überhaupt ok? Führt das in die richtige Richtung?
Gruss
jboss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Fr 16.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo jboss!
> a) Bestimmen Sie mit der Stirlingschen Formel die
> Größenordnung von [mm]\binom{2n}{n}[/mm] für [mm]n \rightarrow \infty[/mm]
>
> b) Für $x,y > 0$ bestimme man [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} \bruch{\Gamma(x+n)}{\Gamma(y+n)}*n^{y-x}$[/mm]
>
> Hallo zusammen,
> und noch eine Aufgabe die mir Kopfzerbrechen bereitet.
>
> zu a) Der Begriff Größenordnung kam dieses Semester in
> der Vorlesung noch nicht vor. Ich denke damit ist eine
> asymptotische Abschätzung mit der Landau-Notation gemeint.
> Bisher bin ich wie folgt vorgegangen:
>
> [mm]\binom{2n}{n}[/mm] = [mm]\bruch{(2n)!}{n!*(2n-n)!} = \bruch{(2n)!}{n!*n!} = \bruch{(2n)^{2n}*e^{-2n}*\wurzel{2\pi2n}*q_{2n}}{n^n*n^n*e^{-n}*e^{-n}*2\pi n*q_n*q_n} = \dots = \bruch{4^n*q_{2n}}{\wurzel{\pi n}*q_n*q_n} \Rightarrow \binom{2n}{n} \in O(\bruch{4^n}{\wurzel{n}})[/mm]
Sieht für mich ok aus.
> zu b) Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} \bruch{\Gamma(x+n)}{\Gamma(y+n)}*n^{y-x} = \limes_{n \rightarrow \infty} \bruch{(x+n-1)*(x+n-2)*\dots*x*\Gamma(x)}{(y+n-1)*(y+n-2)*\dots*y*\Gamma(y)}*n^{y-x}[/mm]
Warum nimmst du nicht auch die Stirlingsche Formel?
Zur Gammafunktion siehe auch ![[]](/images/popup.gif) Abramowitz/Stegun: Handbook of Mathematical Functions.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:32 So 18.04.2010 | | Autor: | jboss |
Hallo,
daran habe ich auch schon gedacht, da die Gamma-Funktion ja eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultätsfunktion ist. Es gilt laut Vorlesung [mm] $\Gamma(n) [/mm] = (n-1)! [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN$. [/mm] Die Aufgabenstellung besagt jedoch nur, dass $x,y > 0$. Daraus folgt, dass $(x + n)$ nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl ist. Kann ich hier irgendwie abschätzen?
Gruss
jboss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Di 20.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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