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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:42 So 06.07.2008 | | Autor: | hhashavti |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper, der eine primitive n-te Einheitswurzel enthalte, und sei E eine normale Erweiterung von K mit einer zyklischen Automorphismengruppe G der Ordnung n. Man zeige, dass man E durch Adjunktion n-ter Wurzeln von Elementen aus K erzeugen kann. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 So 06.07.2008 | | Autor: | Marc |
Eigene Ansätze? Konkrete Frage?
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Also nochmal:
Die Aufgabe lautete: Sei K ein Körper, der eine primitive n-te Einheitswurzel enthält, und sei E ein normaler Erweiterungskörper von K mit einer zyklischen Automorphismengruppe. Man zeige, dass man E dadurch erzeugen kann, dass man eine n-te Wurzel eines Elements von K zu K adjungiert.
Frage: Wie beweise ich das?
Ich bin völlig ratlos und weiß überhaupt nicht, wo ich ansetzen soll... Ich weiß zwar durchaus, was mit der Aufgabenstellung gemeint ist, aber wie ich das BEWEISEN soll, ist mir völlig schleierhaft.
Danke im Voraus für eure Mithilfe
hhashavti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Mo 07.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Also nochmal:
> Die Aufgabe lautete: Sei K ein Körper, der eine primitive
> n-te Einheitswurzel enthält, und sei E ein normaler
> Erweiterungskörper von K mit einer zyklischen
> Automorphismengruppe.
Hier hast du vergessen, dass diese Ordnung $n$ haben soll, ansonsten ist die Aussage schlichtweg falsch.
> Man zeige, dass man E dadurch
> erzeugen kann, dass man eine n-te Wurzel eines Elements von
> K zu K adjungiert.
>
> Frage: Wie beweise ich das?
>
> Ich bin völlig ratlos und weiß überhaupt nicht, wo ich
> ansetzen soll... Ich weiß zwar durchaus, was mit der
> Aufgabenstellung gemeint ist, aber wie ich das BEWEISEN
> soll, ist mir völlig schleierhaft.
Ich wuerde es so versuchen: betrachte die Menge aller Zwischenkoerper von $E/K$, die die Aussage des Satzes erfuellt (beachte, dass es auch immer eine passende primitive Einheitswurzel in $K$ gibt) und waehle dir einen maximalen solchen. Jetzt kannst du dir ueberlegen, dass dieser alle anderen solchen Zwischenkoerper enthalten muss (ansonsten betrachte das Kompositum). Du hast dann also einen Zwischenkoerper $E'$ mit $K [mm] \subseteq [/mm] E' [mm] \subseteq [/mm] E$ mit $E' = [mm] K(\sqrt[n]{\alpha_1}, \dots, \sqrt[n]{\alpha_k})$ [/mm] fuer [mm] $\alpha_1, \dots, \alpha_k \in [/mm] K$ (ueberlege dir, warum man hier $n$ schreiben kann; das muesstest du dir schon beim Kompositum ueberlegt haben).
Du willst ja jetzt zeigen, dass $E = E'$ ist. Wie sieht die Galoisgruppe von $E / E'$ aus? Du wirst sehen, dass $E / E'$ auch die Voraussetzungen der Aufgabe erfuellt.
Du kannst also (als Widerspruchsbeweis) annehmen, dass $E / K$ keinen solchen Zwischenkoerper hat; insbesondere liegen in $E [mm] \setminus [/mm] K$ keine $n$-ten Wurzeln von Elementen aus $K$.
Vielleicht kommst du damit weiter? Dies bedeutet z.B., dass alle Polynome der Form [mm] $x^n [/mm] - k$ mit $k [mm] \in [/mm] K$ entweder ueber $K$ in Linearfaktoren zerfallen oder irreduzibel ueber $E$ sind. (Ob das was bringt weiss ich allerdings nicht...)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 So 06.07.2008 | | Autor: | hhashavti |
Hat denn keiner eine Antwort auf mein Problem?
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