Galoiskörper, prim. Polynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:22 So 25.03.2007 | | Autor: | sonix |
| Aufgabe | | Erstellen Sie zum Polynom [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 1 den entsprechende Galois-Körper |
Ich habe keine Ahnung wie das funktioniert, aus [mm] x^3+x+1 [/mm] könnt ich den Körper erstellen, aber mehr schlecht als recht, könnte mir jemand bitte das an diesem Beispiel erklären? Danke schön ;)
greetz
sonix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:06 Mo 26.03.2007 | | Autor: | statler |
Hey,
über welchem Grundkörper? Das ist wesentlich für die Antwort.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Mo 26.03.2007 | | Autor: | sonix |
| Aufgabe | | [mm]
\begin{array}{|c|cccc|c|c|} \hline
Exponent & & & & & & Computation \\ \hline
- \infty & & & & 0 & 0000 & \\
0 & & & & 1 & 0001 & \\
1 & & & a & & 0010 & \\
2 & & a^2 & & & 0100 & \\
3 & a^3 & & & & 1000 & \\
4 & & & a & 1 & 0011 & a^4 = a+1\\
5 & & a^2 & a & & 0110 & a^5 = a^4 \cdot a = a^2 + a\\
6 & a^3 & a^2 & & & 1100 & a^6 = a^5 \cdot a = a^3 + a^2\\
7 & a^3 & & a & 1& 1011 & a^7 = a^6 \cdot a = a^4 + a^3 = a^3 + a + 1 \\
8 & & a^2 & & 1 & 0101 & a^8 = a^7 \cdot a = a^4 + a^2 + a = a^2+1 \\
9 & a^3 & & a & & 1010 & \\
10 & & a^2 & a & 1 & 0111 & \\
11 & a^3 & a^2 & a & & 1110 & \\
12 & a^3 & a^2 & a & 1 & 1111 & \\
13 & a^3 & a^2 & & 1 & 1101 & \\
14 & a^3 & & & 1 & 1001 & \\
15 & a^3 & a^2 & a & 1 & 0001 & a^{15} = a^{14} * a = a^4 + a = 1 \\\hline
\end{array}
[/mm] |
Es geht allgemein um die Erweiterung von [mm]GF(2^m)[/mm], also in diesem Fall [mm]m=3[/mm].
Hier hab ic hmal ein Beispiel aus dem Script, das ich nich so ganz versteh'.
Dies ist die Berechnung zum Galois Körper des Polynoms [mm]x^4+x+1[/mm]. Es geht mir hauptsächlich darum, wie ich auf den Wert bei Exponent 4 komme, der ja scheinbar auf die Nullstelle zurück zuführen ist, was eigentlich mein Hauptproblem ist (denke ich), weil:
[mm]
a^4+a+1 = 0 \quad \Rightarrow \quad a^4 = a + 1
[/mm]
Wenn mir das zumidnest einer erklären könnte wäre mir bereits gut geholfen ...
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Ich habe die Frage in sonst keinem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Mo 26.03.2007 | | Autor: | statler |
> Es geht allgemein um die Erweiterung von [mm]GF(2^m)[/mm], also in
> diesem Fall [mm]m=3[/mm].
>
> Hier hab ic hmal ein Beispiel aus dem Script, das ich nich
> so ganz versteh'.
> Dies ist die Berechnung zum Galois Körper des Polynoms
> [mm]x^4+x+1[/mm]. Es geht mir hauptsächlich darum, wie ich auf den
> Wert bei Exponent 4 komme, der ja scheinbar auf die
> Nullstelle zurück zuführen ist, was eigentlich mein
> Hauptproblem ist (denke ich), weil:
> [mm]
a^4+a+1 = 0 \quad \Rightarrow \quad a^4 = a + 1
[/mm]
> Wenn mir
> das zumidnest einer erklären könnte wäre mir bereits gut
> geholfen ...
Mahlzeit!
Das ist so, weil du in einem Körper der Charakteristik 2 unterwegs bist, da ist + = -, und weil a eine Nullstelle des Polynoms ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Mo 26.03.2007 | | Autor: | sonix |
| Aufgabe | Nullstelle:
[mm]x^3 + x^2 + 1 = 0 \quad \Rightarrow x^3 = x^2 +1 [/mm]
Berechnung:
[mm]
\begin{array}{|c|ccc|c|c|} \hline
Exponent & & & & & Computation \\ \hline
- \infty & & & & & \\
0 & & & 1 & 001 & \\
1 & & a& & 010 & \\
2 & a^2 & & & 100 & \\
3 & a^2 & & 1 & 101 & \\
4 & a^2 & a & 1 & 111 & a^4 = a^3 * a = a^3 + a = a^2 + a + 1\\
5 & & a & 1 & 011 & a^5 = a^4 * a = a^3 +a ^2 + a = a + 1\\
6 & a^2 & a & & 110 & a^6 = a^5 * a = a^2 + a\\
7 & & & 1 & 001 & a^7 = a^6 * a = a^3 + a^2 = 1 \\ \hline
\end{array}
[/mm] |
Ich hab dann nur noch die Frage, ob das hier so richtig ist, falls ja hab ichs ja dannn got seis gedankt endlich verstanden ;)
Danke für die schnelle Antwort ;)
greetz
sonix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mo 26.03.2007 | | Autor: | statler |
Das sieht sehr sehr gut aus! Warum steht das [mm] -\infty [/mm] in der Tabelle?
Ciao
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Mo 26.03.2007 | | Autor: | sonix |
Das [mm]-\infty[/mm] gehört bei uns zur Definition des [mm]GF(x)[/mm] dazu und repräsentiert das Codewort [mm]000[/mm].
Mir is gerade aufgefallen, dass ich das Codewort nicht in die Tabelle eingetragen hab' - mea culpa.
Danke für die nette und schnelle Antwort ;)
greetz
sonix
- $EDIT -
Hier noch kurz meine Lösung, also, es hängt ja wirklich mit der Nullstelle zusammen, die wie o.g. berechnet wird (stimmt, [mm]\mod 2[/mm] sind ja [mm]+,-[/mm] äquivalent) und dies für den Exponent [mm]grad(p(x))[/mm] einsetzen. Danach ganz normal ausrechnen (u.a. [mm]a^2+a^2 \mod 2= 0[/mm]).
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