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Galoisgruppe, op. transitiv: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:07 Di 12.01.2010
Autor: kunzmaniac

Aufgabe
Zeigen Sie: Wenn K Körper, f [mm] $\in K[X]\K$ [/mm] mit einfachen Nullstellen und L der Zerfällungskörper von f ist, dann sind äquivalent:
f irreduzibel [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] die K-Automorphismengruppe von L operiert transitiv auf den Nullstellen von f.

Hallo,

von rechts nach links kann man so argumentieren:

Annahme: f reduzibel.

$f = c*g*h$ mit $c [mm] \in [/mm] K \ g,h [mm] \in [/mm] K[x].$ und $g(x) = [mm] (x-a_1)...(x-a_m), [/mm] h(x) = [mm] (x-a_{m+1})...(x-a_n).$ [/mm]

gäbe es jetzt ein [mm] $\sigma \in Aut_K(L)$ [/mm] mit [mm] $\sigma(a_1) [/mm] = [mm] \sigma(a_{m+1})$ [/mm] würde gelten:

[mm] $h(a_1) \neq [/mm] 0$ (versch. Nullstellen) aber [mm] $\sigma(h(a_1))=h(\sigma(a_1)) [/mm] = [mm] h(a_{m+1})=0_$ [/mm] Widerspruch.

Aber was mache ich in der anderen Richtung?

        
Bezug
Galoisgruppe, op. transitiv: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Do 14.01.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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