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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 So 21.01.2007 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | a) Man bestimme die Galoisgruppe [mm] $G(L/\IQ)$ [/mm] für [mm] $L=\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3},\wurzel{5}) [/mm] und [mm] $L=\IQ(\wurzel[3]{2})$.
[/mm]
b) Für [mm] $a\in\IQ$ [/mm] sei [mm] $L_a$ [/mm] der Zerfällungskörper des Polynoms [mm] $X^3-a$. [/mm] Man bestimme die Galoisgruppe [mm] $G(L_a/\IQ)$ [/mm] in Abhängigkeit von $a$. |
Hallo,
ich muss diese Aufgabe in meiner Uni-Übungsgruppe vorrechnen, aber ich habe mit diesem Thema große Schwierigkeiten. Kann mir jemand helfen? Bin für jeden Lösungsansatz dankbar!
Vielen Dank!!!
(Ich habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 So 21.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo MasterEd,
> a) Man bestimme die Galoisgruppe [mm]$G(L/\IQ)$[/mm] für
> [mm]$L=\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3},\wurzel{5})[/mm] und
> [mm]$L=\IQ(\wurzel[3]{2})$.[/mm]
ersteinmal: welchen Grad hat $L$ ueber [mm] $\IQ$? [/mm] Das ist beim zweiten nicht so schwer, beim ersten nicht ganz.
Und dann: wie agiert die Galoisgruppe auf den Erzeugern? Also auf welche Elemente koennen [mm] $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] abgebildet werden beim ersten Koerper? (Hier siehst du, dass jeder Automorphismus [mm] $\neq [/mm] id$ bereits Ordnung 2 hat. Was sagt dir das ueber die Gruppe aus?)
Beim zweiten Koerper, worauf kann [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] abgebildet werden? (Liegen die anderen Nullstellen des Minimalpolynoms von [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})$?)
[/mm]
> b) Für [mm]a\in\IQ[/mm] sei [mm]L_a[/mm] der Zerfällungskörper des Polynoms
> [mm]X^3-a[/mm]. Man bestimme die Galoisgruppe [mm]G(L_a/\IQ)[/mm] in
> Abhängigkeit von [mm]a[/mm].
Wie lauten die drei Nullstellen des Polynoms? Du kannst sie direkt angeben. Du musst zwischen zwei Faellen unterscheiden: (i) eine Nullstelle liegt bereits in [mm] $\IQ$ [/mm] und (ii) keine Nullstelle liegt in [mm] $\IQ$.
[/mm]
In jedem Fall kannst du den Grad des Zerfaellungskoerpers angeben; in dem einen Fall ist die Galoisgruppe dann sofort klar. In dem anderen gibt es zwei Moeglichkeiten (da es bis auf Isomorphie nur zwei Gruppen dieser Art gibt). Ueberleg dir mal zwei Autormorphismen, die jeweils eins der erzeugenden Elemente der Koerpererweiterung bewegen. Kommutieren diese beiden miteinander?
LG Felix
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Hallo,
erstmal vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Leider kann ich Deine Fragen nicht beantworten. Ich bin gerade ganz schockiert, weil ich von dem, was Du gefragt hast, eigentlich nur raten kann.
Hoffentlich klingt das jetzt nicht unverschämt, aber könntest Du mir zu Deinen Fragen vielleicht eine kurze Antwort schreiben? Du scheinst die Lösungen ja fast zu "sehen", mir fällt das aber nicht so leicht wie Dir.
Lieben Gruß, Master Ed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 23.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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