Galoisgruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Mo 19.05.2014 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | | Seien K ein Körper, f [mm] \in [/mm] K[x] irreduzibel und seperabel vom Grad 3 mit Diskriminante [mm] \Delta. [/mm] Bestimmen Sie die Galoisgruppe von f (wenn nötig in Abhängigkeit von [mm] \wurzel{\Delta}) [/mm] |
Hey,
bin bei dieser Aufgabe ein wenig ins Stocken geraten..
Also gesucht: Gal(f; K) = Aut(E;K) mit E=Zerfaellungskörper von f
Grad f ist 3, also 3 Nullstellen über E
[mm] f=(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})(x-\alpha_{3}), [/mm] mit [mm] \alpha_{i} \in [/mm] E
Nur weiss ich jetzt nicht wirklich, wie ich eine Galoisgruppe in Abhängigkeit einer Diskriminante angeben kann...
Hat jemand vllt ne Idee? 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:55 Di 20.05.2014 | | Autor: | hippias |
Die Galoisgruppe in Abhaengigkeit der Diskriminante zu bestimmen, bedeutet lediglich, dass sich je nach Eigenschaften der Diskriminante unterschiedliche Gruppen ergeben. Das wird sich aber alles von allein richtig ergeben.
Sei $G$ die Galoisgruppe. Beachte, dass $G$ auf der Mengen der Nullstellen von $f$ operiert. Als erstes wuerde ich mir mit Hilfe dieser Operation ueberlegen, welche Ordnungen $G$ haben kann. Beachte dabei insbesondere, dass $f$ als irreduzibel vorausgesetzt ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Di 20.05.2014 | | Autor: | Topologe |
Hi,
also f irreduzibel über K, da würde ich sagen: sei [mm] f=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} \in [/mm] K[x]. Dann sei [mm] g=\bruch{1}{a_{3}}*f
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g Minimalpolynom [mm] \Rightarrow [/mm] [E:K]=3=deg g, mit E Zerfällungskörper von f
Für Galoiserweiterungen gilt: |Gal(f;K)|=[E:K]=3
Und da f seperabel [mm] \Rightarrow \Delta \not= [/mm] 0
Da gilt |Gal(f;K)|=3 [mm] \Rightarrow [/mm] zyklisch, also [mm] \cong \IZ_{3}?
[/mm]
So richtig weiss ich leider nicht, wie ich [mm] \Delta [/mm] einbauen kann, da ja schließlich gilt [mm] \Delta \not= [/mm] 0, also sind ja auch keine großartigen Fallunterscheidungen möglich
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Di 20.05.2014 | | Autor: | hippias |
Das ist der springende Punkt: Wenn [mm] $\alpha$ [/mm] eine Nullstelle von $f$ ist, dann ist [mm] $K[\alpha]$ [/mm] nicht immer ein Zerfaellungskoerper! Und wann das doch der Fall ist, das wird dir die Diskriminante sagen.
Mit meiner letzten Mitteilung ueberlege Dir, dass der Grad der Erweiterung $3$ oder $6$ sein muss. Dann sehen wir weiter.
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