Galois Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimmen sie die die Galois-Gruppe von [mm] f(x)=x^7-1 [/mm] über Q. |
Zu der Aufgabe haben wir eine Lösung von unserem Tutor bekommen, ich komme aber nicht so gut klar damit habe einige Fragen, vielleicht könnt ihr mir diese ja beantworten.
Lösung:
Nullstellen sind: [mm] e^{\bruch{(2 \pi i)}{7}*k} [/mm] k=0,....,12
respektive :
mit [mm] \gamma= e^{\bruch{(2 \pi i)}{7}} [/mm] :
[mm] \gamma^{1}, \gamma^{2}, \gamma^{3}, \gamma^{4}, \gamma^{5}, \gamma^{6}, \gamma^{7} [/mm] = 1
Galois Gruppe permutiert auf die Nullstellen:
[mm] \gamma^{1} \mapsto \gamma^{4}
[/mm]
[mm] \gamma^{2} \mapsto \gamma^{1}
[/mm]
[mm] \gamma^{3} \mapsto \gamma^{5}
[/mm]
[mm] \gamma^{4} \mapsto \gamma^{2}
[/mm]
[mm] \gamma^{5} \mapsto \gamma^{6}
[/mm]
[mm] \gamma^{6} \mapsto \gamma^{3}
[/mm]
[mm] \gamma^{7} \mapsto \gamma^{7}
[/mm]
Wie kommt man denn darauf, dass z.B. [mm] \gamma^{1} \mapsto \gamma^{4}
[/mm]
[mm] \gamma^{2} \mapsto \gamma^{1}. [/mm] Ich komme leider gar nicht darauf, wie man hier vorgegangen ist.
Wenn das Bild festgelegt ist, ist dadurch die ganze Permutation festgelegt.
6 Permutationen (nicht 7, weil 1 [mm] \mapsto [/mm] 1)
Gal [mm] (x^7-1)\cong \IZ_{7}^{x} \cong \IZ_{6}
[/mm]
Vielen Dank schon mal.
|
|
| |
|
Hallo,> Bestimmen sie die die Galois-Gruppe von [mm]f(x)=x^7-1[/mm] über
> Q.
> Zu der Aufgabe haben wir eine Lösung von unserem Tutor
> bekommen, ich komme aber nicht so gut klar damit habe
> einige Fragen, vielleicht könnt ihr mir diese ja
> beantworten.
>
> Lösung:
>
> Nullstellen sind: [mm]e^{\bruch{(2 \pi i)}{7}*k}[/mm] k=0,....,12
Da sind aber ein paar doppelt...
>
> respektive :
>
> mit [mm]\gamma= e^{\bruch{(2 \pi i)}{7}}[/mm] :
>
> [mm]\gamma^{1}, \gamma^{2}, \gamma^{3}, \gamma^{4}, \gamma^{5}, \gamma^{6}, \gamma^{7}[/mm]
> = 1
>
> Galois Gruppe permutiert auf die Nullstellen:
>
> [mm]\gamma^{1} \mapsto \gamma^{4}[/mm]
>
> [mm]\gamma^{2} \mapsto \gamma^{1}[/mm]
>
> [mm]\gamma^{3} \mapsto \gamma^{5}[/mm]
>
> [mm]\gamma^{4} \mapsto \gamma^{2}[/mm]
>
> [mm]\gamma^{5} \mapsto \gamma^{6}[/mm]
>
> [mm]\gamma^{6} \mapsto \gamma^{3}[/mm]
>
> [mm]\gamma^{7} \mapsto \gamma^{7}[/mm]
>
> Wie kommt man denn darauf, dass z.B. [mm]\gamma^{1} \mapsto \gamma^{4}[/mm]
>
> [mm]\gamma^{2} \mapsto \gamma^{1}.[/mm] Ich komme leider gar nicht
> darauf, wie man hier vorgegangen ist.
Das scheint eine Permutation zu sein (beachte [mm] $\gamma^7=\gamma^0=1$). [/mm] Wie du allerdings richtigerweise ausführst ist es allerdings unnötig mehr als die erste Zeile zu schreiben.
>
> Wenn das Bild festgelegt ist, ist dadurch die ganze
> Permutation festgelegt.
>
> 6 Permutationen (nicht 7, weil 1 [mm]\mapsto[/mm] 1)
>
> Gal [mm](x^7-1)\cong \IZ_{7}^{x} \cong \IZ_{6}[/mm]
Vollkommen richtig.
>
> Vielen Dank schon mal.
>
>
>
>
|
|
|
|
