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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Mi 06.02.2008 | | Autor: | jocen |
| Aufgabe | Sei a die 5. Einheitswurzel. Zu zeigen ist:
[mm] 5^{0.5} [/mm] ist Element von [mm] \IQ(a)
[/mm]
(1 + [mm] \wurzel{5} [/mm] + [mm] \wurzel{30 - 6*\wurzel{5}})/8 [/mm] = [mm] cos(\pi*2/15) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Im einfachen Fall der 3. Einheitswurzel und [mm] 3^{0.5} [/mm] ist die Sache klar, da
[mm] sin(\pi*2/3) [/mm] = [mm] 3^{0.5}/2 [/mm] . Ich denke, dass man für [mm] 5^{0.5} [/mm] eine ähnliche Formel finden muss, komme aber nicht darauf.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:24 Fr 08.02.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Sei a die 5. Einheitswurzel. Zu zeigen ist:
> [mm]5^{0.5}[/mm] ist Element von [mm]\IQ(a)[/mm]
Wenn a eine 5. Einheitswurzel ist und a [mm] \not= [/mm] 1, dann ist
[mm] a^{4} [/mm] + [mm] a^{3} [/mm] + [mm] a^{2} [/mm] + a + 1 = 0 und [mm] a^{-1} [/mm] = [mm] a^{4}.
[/mm]
Dann ist weiter
(a + [mm] a^{-1})^{2} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] + 2 + [mm] a^{3} [/mm] = 1 - (a + [mm] a^{4})
[/mm]
Und schließlich ist
(2*(a + [mm] a^{-1}) [/mm] + [mm] 1)^{2} [/mm] = 4*(a + [mm] a^{-1})^{2} [/mm] + 4*(a + [mm] a^{-1}) [/mm] + 1 = 5.
Damit ist man fertig.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 So 10.02.2008 | | Autor: | jocen |
Hallo, und vielen Dank.
Hast du auch eine Idee für die 2. Gleichung?
Gruß Jochen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mo 11.02.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Hast du auch eine Idee für die 2. Gleichung?
Eine Idee hab ich schon. Aus der 1. Gleichung kannst du sin und cos von 72° berechnen. Hier ist der cos von 24° gesucht. Vielleicht kannst du mit Hilfe der Additionstheoreme eine geeignete Gleichung dafür aufstellen.
Oder by brute force: Du arbeitest dich mit dem Pythagoras durch das regelmäßige 15-Eck.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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