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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - GLS mit 4 Unbekannten
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GLS mit 4 Unbekannten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:32 Fr 04.04.2008
Autor: ebarni

Aufgabe
Bestimme die 4 Unbekannten des LGS:

[mm] \alpha [/mm] - [mm] \delta [/mm] = [mm] -\bruch{1}{5} [/mm] (1)

[mm] \beta [/mm] + [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{1}{5} [/mm] (2)

[mm] \alpha [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = [mm] -\bruch{1}{5} [/mm] (3)

[mm] -\beta [/mm] - [mm] \gamma [/mm] = [mm] \bruch{1}{5} [/mm] (4)

Hallo zusammen, das GLS sieht eigentlich ziemlich einfach aus.

Ich konnte zumindest durch Gleichsetzen von (1) und (3) herausfinden:

[mm] \gamma [/mm] + [mm] \delta [/mm] = 0

Das Gleichsetzen von (2) und (4) erbrachte mir:

[mm] 2\beta [/mm] = [mm] -\delta -\gamma [/mm]

Stimmt das soweit bzw. wie geht's weiter?

Viele Grüße, Andreas
        
Bezug
GLS mit 4 Unbekannten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 Fr 04.04.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Das sieht soweit gut aus. Ich würde aber direkt das Additionsverfahren nutzen.

Also:

[mm] \vmat{\alpha+0\beta+0\gamma-\delta=-\bruch{1}{5}\\0\alpha+\beta+0\gamma+\delta=\bruch{1}{5}\\\alpha+0\beta+\gamma+0\delta=-\bruch{1}{5}\\0\alpha-\beta-\gamma+0\delta=-\bruch{1}{5}} [/mm]
Sortieren (Alles mit [mm] \alpha [/mm] untereienander)
[mm] \gdw\vmat{\alpha+0\beta+0\gamma-\delta=-\bruch{1}{5}\\\alpha+0\beta+\gamma+0\delta=-\bruch{1}{5}\\0\alpha+\beta+0\gamma+\delta=\bruch{1}{5}\\0\alpha+\beta+\gamma+0\delta=+\bruch{1}{5}} [/mm]  
GL1-GL2:
[mm] \gdw\vmat{\alpha+0\beta+0\gamma-\delta=-\bruch{1}{5}\\0\alpha+0\beta-\gamma-\delta=0\\0\alpha+\beta+0\gamma+\delta=\bruch{1}{5}\\0\alpha+\beta+\gamma+0\delta=+\bruch{1}{5}} [/mm]
Sortieren: (alles mit [mm] \beta [/mm] untereinander)
[mm] \gdw\vmat{\alpha+0\beta+0\gamma-\delta=-\bruch{1}{5}\\0\alpha+\beta+0\gamma+\delta=\bruch{1}{5}\\0\alpha+\beta+\gamma+0\delta=+\bruch{1}{5}\\0\alpha+0\beta-\gamma-\delta=0} [/mm]
GL2-GL3
[mm] \gdw\vmat{\alpha+0\beta+0\gamma-\delta=-\bruch{1}{5}\\0\alpha+\beta+0\gamma+\delta=\bruch{1}{5}\\0\alpha+0\beta-\gamma+\delta=0\\0\alpha+0\beta-\gamma-\delta=0} [/mm]
GL3-GL4
[mm] \gdw\vmat{\alpha+0\beta+0\gamma-\delta=-\bruch{1}{5}\\0\alpha+\beta+0\gamma+\delta=\bruch{1}{5}\\0\alpha+0\beta-\gamma+\delta=0\\0\alpha+0\beta+0\gamma+2\delta=0} [/mm]
Jetzt kannst du "Rückwärts einsetzen, damit bekommst du dann die Lösungen für [mm] \delta, \gamma, \beta [/mm] und zuletzt [mm] \alpha. [/mm]

Marius

Bezug
                
Bezug
GLS mit 4 Unbekannten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Fr 04.04.2008
Autor: ebarni

Hallo Marius, vielen Dank für Deine schnelle und ausführliche Antwort! [anbet]

Das heißt, ich bekomme für:

[mm] \delta [/mm] = [mm] \gamma [/mm] = 0

nur bei [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] scheint es mir irgendeine Diskrepanz zu geben?

Laut Gleichung (1) und (3) wäre [mm] \alpha=-\bruch{1}{5}. [/mm] Soweit OK.

Laut Gleichung (2) und (4) aber wäre [mm] \beta [/mm] einmal [mm] \bruch{1}{5} [/mm] und einmal [mm] -\bruch{1}{5}. [/mm] [kopfkratz]

Kann es sein, dass Du einen kleinen Fehler in Deiner ersten Determinante hast, da ist nämlich dreimal [mm] -\bruch{1}{5} [/mm] auf der rechten Seite der Gleichungen. Keine Ahnung, ob das die Ursache ist.

Aber irgendwie ist das alles dubios...

Viele Grüße, Andreas

Bezug
                        
Bezug
GLS mit 4 Unbekannten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Fr 04.04.2008
Autor: Tyskie84

Hallo ebarni!

Aus der dritten Zeile folgt doch dass [mm] \gamma=\delta [/mm]
Aus der vierten Zeile folgt dass [mm] \delta=0 [/mm] und demnach auch [mm] \gamma [/mm] dann 0 sein muss.

Nun schauen wir uns [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] an:
Aus der 1 Zeile folgt dann dass [mm] \alpha=-\bruch{1}{5} [/mm] ist und
aus der zweiten dann dass [mm] \beta=\bruch{1}{5} [/mm] ist.

Hmm jetzt sehe ich es auch dass dort 3 mal [mm] -\bruch{1}{5} [/mm] ist.

Also ich rechne es nochmal :-)

[mm] \pmat{1 & 0 & 0 & -1 | & -\bruch{1}{5} \\ 0 & 1 & 0 & 1 | & \bruch{1}{5} \\ 1 & 0 & 1 & 0 | & -\bruch{1}{5} \\ 0 & -1 & -1 & 0 | & \bruch{1}{5}} \to \pmat{5 & 0 & 0 & -5 | & -1 \\ 0 & 5 & 0 & 5 | & 1 \\ 5 & 0 & 5 & 0 | & -1 \\ 0 & -5 & -5 & 0 | & 1} \to \pmat{5 & 0 & 0 & -5 | & -1 \\ 0 & 5 & 0 & 5 | & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 5 | & 0 \\ 0 & -5 & -5 & 0 | & 1} \to \pmat{5 & 0 & 0 & -5 | & -1 \\ 0 & 5 & 0 & 5 | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 | & 0 \\ 0 & -5 & -5 & 0 | & 1} \to \pmat{5 & 0 & 0 & -5 | & -1 \\ 0 & 5 & 0 & 5 | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 | & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 5 | & 2} \to \pmat{5 & 0 & 0 & -5 | & -1 \\ 0 & 5 & 0 & 5 | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 10 | & 2} \to \pmat{5 & 0 & 0 & -5 | & -1 \\ 0 & 5 & 0 & 5 | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 | & 1} \to \pmat{5 & 0 & 0 & 0 | & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 | & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 | & 1} \to \pmat{1 & 0 & 0 & 0 | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 | & -\bruch{1}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 | & \bruch{1}{5}} [/mm]

Demnach ist bei mir jetzt [mm] \delta=\bruch{1}{5} [/mm] , [mm] \gamma=-\bruch{1}{5} [/mm] , [mm] \alpha=\beta=0 [/mm]

[hut] Gruß



Bezug
                                
Bezug
GLS mit 4 Unbekannten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:56 Fr 04.04.2008
Autor: ebarni

Hallo Tyskie, hallo Loddar,

vielen lieben Dank für eure Ausführungen, damit hat sich ja jetzt alles aufgeklärt.

Bin jetzt extrem [happy]

Ich schicke euch meine besten Grüße verbunden mit einem:

Schönes Wochenende!

Andreas
Bezug
        
Bezug
GLS mit 4 Unbekannten: etwas schneller
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Fr 04.04.2008
Autor: Loddar

Hallo Andreas!


Ziemlich schnell bist Du hier am Ziel, wenn Du Gleichung (1) und (2) addierst und anschließend die anderen beiden Gleichungen ebenfalls addierst.

Die Addition dieser beiden neuen Gleichungen liefert Dir dann [mm] $\alpha$ [/mm] .


Gruß
Loddar

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