G-invarianter Teilraum < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 So 20.09.2015 | | Autor: | lol13 |
In einem Satz erhalte ich als Resultat, dass ein eindimensionaler G-invarianter Teilraum von [mm] K^n [/mm] existieren muss.
Was genau ist mit G-invariant gemeint?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> In einem Satz erhalte ich als Resultat, dass ein
> eindimensionaler G-invarianter Teilraum von [mm]K^n[/mm] existieren
> muss.
>
> Was genau ist mit G-invariant gemeint?
Hallo,
es gibt einen Unterraum U des [mm] K^n [/mm] mit [mm] G(U)\subseteq [/mm] U.
LG Angela
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 So 20.09.2015 | | Autor: | lol13 |
Geht es dann quasi um Fixpunkte?
Wie muss ich mir das vorstellen, wenn dieser Raum eindimensional ist? Handelt es sich dann um Punkte, die im Grunde nur nummeriert werden, weil sie ja nicht z.B. 2 Koordinaten zugeordnet bekommen?
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> Geht es dann quasi um Fixpunkte?
Hallo,
worum es in Deinem Text geht, weiß ich natürlich nicht...
Wenn der Unterrum U G-invariant ist, muß nicht jeder Punkt von U ein Fixpunkt unter G sein.
Machen ir ein Beispiel:
betrachten wir den Unterraum U des [mm] \IR^3 [/mm] mit [mm] U:=\{\lambda\vektor{1\\0\\0}|\lambda\in \IR\} [/mm] und die Abbildung
[mm] G:\IR^3 \to \IR^3 [/mm] mit [mm] G(\vektor{x\\y\\z}):=\vektor{-2x\\4z\\6y}.
[/mm]
Offenbar ist U G-invariant, denn für jedes [mm] x\in \IR [/mm] ist [mm] G(\vektor{x\\0\\0})=\vektor{-x\\0\\0}\in [/mm] U.
Einen Fixpunkt in U gibt es jedoch nur einen, nämlich den Nullvektor.
Anderes Beispiel:
betrachten wir den eindimensionalen Unterraum U des [mm] \IR^3 [/mm] mit [mm] U:=\{\lambda\vektor{1\\0\\0}|\lambda\in \IR\} [/mm] und die Abbildung
[mm] H:\IR^3 \to \IR^3 [/mm] mit [mm] G(\vektor{x\\y\\z}):=\vektor{x\\4z\\6y}.
[/mm]
Offenbar ist U G-invariant, denn für jedes [mm] x\in \IR [/mm] ist [mm] H(\vektor{x\\0\\0})=\vektor{x\\0\\0}\in [/mm] U,
und es ist jedes Element aus U ein Fixpunkt, denn jedes Element aus U wird auf sich selbst abgebildet (und nicht bloß auf einen anderen Punkt aus U).
LG Angela
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> Wie muss ich mir das vorstellen, wenn dieser Raum
> eindimensional ist? Handelt es sich dann um Punkte, die im
> Grunde nur nummeriert werden, weil sie ja nicht z.B. 2
> Koordinaten zugeordnet bekommen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 So 20.09.2015 | | Autor: | lol13 |
danke für die Erklärung, besonders mit dem Beispiel :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 Mo 21.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> In einem Satz erhalte ich als Resultat, dass ein
> eindimensionaler G-invarianter Teilraum von [mm]K^n[/mm] existieren
> muss.
>
> Was genau ist mit G-invariant gemeint?
Zur Ergänzung:
Ist V ein K-Vektorraum , G:V [mm] \to [/mm] V linear und U ein eindimensionaler Untervektorraum von V, so gilt:
U ist G- invariant
[mm] \gdw [/mm]
es ex. ein Eigenvektor [mm] x_0 \in [/mm] V von G mit: [mm] U=span(\{x_0\}).
[/mm]
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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