Funktionsuntersuchungen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 So 21.05.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Bestimme die relativen Hoch un Tiefpunkte der Funktion f mithilfe des hinreichenden Kriterium mittels der 2. Ableitung.
a.) f(x) = 1/6x³+12x²
b.) f(x) = 4x³-6x²+9x
c.) f(x) = [mm] 0,04x^5-1,6x³
[/mm]
d.) f(x) = [mm] x^6+x^4
[/mm]
e.) f(x) = [mm] (x-1)^4
[/mm]
f.) f(x) = 1/2x -sin x
g.) f(x) = [mm] x^5-5x^3+10x-2
[/mm]
h.) f(x) = [mm] x^4-2x^3+3x^2-4x+4
[/mm]
i.) f(x) = [mm] |x|^3 [/mm] + 3 |x|
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Hallo ihr Lieben ;)
Habe mal wieder Probleme mit der Hausaufgabe *heul*
Eigentlich konnte ich's ja ganz gut bin mir bei einigen Sachen nur ziemlich unsicher und habe Fragen.
Aufgabe a.)
f'(x) = 1/2x²+24x
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
1/2x²+24x = 0
x (1/2x + 24) = 0
Hier habe ich gleich die 1. Extremstelle. Denn wenn ich für x = 0 einsetzen würde ergibt es 0. Also x_E1 = 0
1/2x + 24 = 0 | -24
1/2x = -24 | *2
x = - 48
x_E2 = -48
Mögliche Extremstellen sind also : -48 und 0
f''(x) = x + 24
f''(0) = 24
f''(0) = > 0 An der Stelle 0 liegt also bei der Ausgangsfunktion ein relativer Tiefpunkt vor.
f''(x) = x + 24
f''(-48) = -24
f''(-48) = < 0 An der Stelle -24 liegt also bei der Ausgangsfunktion ein relativer Hochpunkt vor.
Aufgabe b.)
f'(x) = 12x² - 12x + 9
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
Hier kann ich die p/q Formel ganz gut anwenden.
12x² - 12x + 9 = 0 | : 12
x² - x + 3/4 = 0
[mm] x_1_,_2 [/mm] : 0,5 +/- [mm] \wurzel{(-1/2)²-3/4}
[/mm]
[mm] x_1_,_2 [/mm] : 0,5 +/- [mm] \wurzel{-0,5}
[/mm]
Da nun unter der Wurzel ein negatives Vorzeichen steht, geht es hier nicht weiter. Also sind keine Extremstellen vorhanden und den rest kann man sich dann ja sparen. Ist das richtig oder habe ich mich verrechnet?
Aufgabe c.)
f'(x) = [mm] 0,2x^4 [/mm] - [mm] 4,8x^2
[/mm]
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
[mm] 0,2x^4-4,8x^2 [/mm] = 0
[mm] x^2 (0,2x^2 [/mm] -4,8) = 0
Hier habe ich schon eine Extremstelle [mm] x_E_1 [/mm] = 0
[mm] 0,2x^2 [/mm] - 4,8 = 0 | +4,8
[mm] 0,2x^2 [/mm] = 4,8 | : 0,2
[mm] x^2 [/mm] = 24 | [mm] \wurzel{}
[/mm]
x = [mm] \wurzel{24}
[/mm]
Also ist [mm] x_E_2 [/mm] = [mm] \wurzel{24}
[/mm]
f''(x) = 0,8x³-9,6x
f''(0) = 0
Nun weiß ich nicht was es ist. Wir hatten es so Definiert wenn f''(x) > 0 ist dann wäre es ein Tiefpunkt. Und wenn's < 0 ist dann ein Hochpunkt. Hier ist f''(x) = 0
Ist es dann gar nicht's von beidem? Oder ein Sattelpunkt oder wie?
f''(x) = 0,8x³-9,6x
f''( [mm] \wurzel{24}) [/mm] = > 0
Also tritt in der Ausgangsfunktion an der Stelle [mm] \wurzel{24} [/mm] ein relativer Tiefpunkt auf.
Aufgabe d.)
f'(x) = [mm] 6x^5 +4x^3
[/mm]
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
[mm] 6x^5 [/mm] + [mm] 4x^3 [/mm] = 0
[mm] x^3 (6x^2 [/mm] +4) = 0
Also eine Extremstelle [mm] x_E [/mm] = 0
[mm] 6x^2 [/mm] + 4 = 0 | -4
[mm] 6x^2 [/mm] = -4 | : 6
x² = - 2/3
Wenn ich jetzt hier die Wurzel ziehe wäre ein negatives Vorzeichen unter der Wurzel also geht es nicht. Gibt nur [mm] x_E [/mm] = 0 oder?
f''(x) = [mm] 30x^4 [/mm] + [mm] 12x^2
[/mm]
f''(0) = 0
Genau das gleich wie bei der Aufgabe zuvor. Weiß nicht was die 0 über die Ausgangsfunktion aussagen könnte :(
Aufgabe e.)
f'(x) = [mm] 4x^3-12x^2+12x-4 [/mm]
Zuerst durch Polynomdivision und dann durch die p/q Formel habe ich herausgefunden das es eine 3fache Nullstelle bei 1 gibt. Also ist [mm] x_E [/mm] = 1
f''(x) = 12x² -24x + 12
f''(x) = 0
Alle guten Dinge sind 3 ;)
Hier ist's auch wieder so das f''(x) = 0 ist und ich einfach nicht weiß was es über die Ausgangsfunktion aussagen könnte :(
Aufgabe f.)
Hier bekomme ich die Ableitung nicht einmal hin :(
f(x) = 1/2 x - sin x
f'(x) = 1/2 aber wie ist die Ableitung von - sin x?
Aufgabe g.)
f'(x) = [mm] 5x^4 [/mm] - [mm] 15x^2 [/mm] + 10
Durch Polynomdivision habe ich hier [mm] x_E_1 [/mm] = 1 ; [mm] x_E_2 [/mm] = -1 [mm] x_E_3 [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
f''(x) = 2x³ - 30 x
f''(1) = < 0
f''(-1) = > 0
f''( [mm] \wurzel{2}) [/mm] = > 0
Also kommt an den Stellen -1 und [mm] \wurzel{2} [/mm] ein relativer Tiefpunkt und bei der Stelle ein ein relativer Hochpunkt vor!
Aufgabe h.)
f'(x) = 4x³-6x²+6x-4
Durch Polynomdivision hab ich hier [mm] x_E [/mm] = 1
Eine weitere gibt es nicht, da sonst bei meinen Rechnungen ein negatives Vorzeichen unter der Wurzel stünde.
f''(x) = 12x² -12x + 6
f''(1) = > 0
Also tritt in der Ausgangsfunktion an der Stelle 1 ein relativer Tiefpunkt auf.
Aufgabe i.)
Tja hier bin ich verloren.
Komm da gar nicht klar.
Durch die blöden Betragsstriche :(
Würd mich freuen wenn ihr mir helfen könntet.
Bedanke mich schonmal im Voraus.
MFG
Kristof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 So 21.05.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Bestimme die relativen Hoch un Tiefpunkte der Funktion f
> mithilfe des hinreichenden Kriterium mittels der 2.
> Ableitung.
>
> a.) f(x) = 1/6x³+12x²
> b.) f(x) = 4x³-6x²+9x
> c.) f(x) = [mm]0,04x^5-1,6x³[/mm]
> d.) f(x) = [mm]x^6+x^4[/mm]
> e.) f(x) = [mm](x-1)^4[/mm]
> f.) f(x) = 1/2x -sin x
> g.) f(x) = [mm]x^5-5x^3+10x-2[/mm]
> h.) f(x) = [mm]x^4-2x^3+3x^2-4x+4[/mm]
> i.) f(x) = [mm]|x|^3[/mm] + 3 |x|
>
> Hallo ihr Lieben ;)
> Habe mal wieder Probleme mit der Hausaufgabe *heul*
> Eigentlich konnte ich's ja ganz gut bin mir bei einigen
> Sachen nur ziemlich unsicher und habe Fragen.
>
> Aufgabe a.)
>
> f'(x) = 1/2x²+24x
>
> [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> 1/2x²+24x = 0
> x (1/2x + 24) = 0
>
> Hier habe ich gleich die 1. Extremstelle. Denn wenn ich für
> x = 0 einsetzen würde ergibt es 0. Also x_E1 = 0
>
> 1/2x + 24 = 0 | -24
> 1/2x = -24 | *2
> x = - 48
>
> x_E2 = -48
>
> Mögliche Extremstellen sind also : -48 und 0
>
> f''(x) = x + 24
> f''(0) = 24
> f''(0) = > 0 An der Stelle 0 liegt also bei der
> Ausgangsfunktion ein relativer Tiefpunkt vor.
>
> f''(x) = x + 24
> f''(-48) = -24
> f''(-48) = < 0 An der Stelle -24 liegt also bei der
> Ausgangsfunktion ein relativer Hochpunkt vor.
>
Korrekt
> Aufgabe b.)
>
> f'(x) = 12x² - 12x + 9
> [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
>
> Hier kann ich die p/q Formel ganz gut anwenden.
>
> 12x² - 12x + 9 = 0 | : 12
> x² - x + 3/4 = 0
>
> [mm]x_1_,_2[/mm] : 0,5 +/- [mm]\wurzel{(-1/2)²-3/4}[/mm]
> [mm]x_1_,_2[/mm] : 0,5 +/- [mm]\wurzel{-0,5}[/mm]
>
> Da nun unter der Wurzel ein negatives Vorzeichen steht,
> geht es hier nicht weiter. Also sind keine Extremstellen
> vorhanden und den rest kann man sich dann ja sparen. Ist
> das richtig oder habe ich mich verrechnet?
>
Korrekt
> Aufgabe c.)
>
> f'(x) = [mm]0,2x^4[/mm] - [mm]4,8x^2[/mm]
> [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> [mm]0,2x^4-4,8x^2[/mm] = 0
> [mm]x^2 (0,2x^2[/mm] -4,8) = 0
>
> Hier habe ich schon eine Extremstelle [mm]x_E_1[/mm] = 0
>
> [mm]0,2x^2[/mm] - 4,8 = 0 | +4,8
> [mm]0,2x^2[/mm] = 4,8 | : 0,2
> [mm]x^2[/mm] = 24 | [mm]\wurzel{}[/mm]
> x = [mm]\wurzel{24}[/mm]
>
> Also ist [mm]x_E_2[/mm] = [mm]\wurzel{24}[/mm]
>
> f''(x) = 0,8x³-9,6x
> f''(0) = 0
>
> Nun weiß ich nicht was es ist. Wir hatten es so Definiert
> wenn f''(x) > 0 ist dann wäre es ein Tiefpunkt. Und wenn's
> < 0 ist dann ein Hochpunkt. Hier ist f''(x) = 0
> Ist es dann gar nicht's von beidem? Oder ein Sattelpunkt
> oder wie?
>
> f''(x) = 0,8x³-9,6x
> f''( [mm]\wurzel{24})[/mm] = > 0
> Also tritt in der Ausgangsfunktion an der Stelle
> [mm]\wurzel{24}[/mm] ein relativer Tiefpunkt auf.
>
Fast Korrekt, ausser dass [mm] -\wurzel{24} [/mm] auch ein möglicher Extrempunt (hier Tiefp, wegen Punktsymmetrie des Graphen) ist. Die Überlegung bezüglich des Sattelpunktes (0/0) ist korrekt
> Aufgabe d.)
>
> f'(x) = [mm]6x^5 +4x^3[/mm]
>
> [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> [mm]6x^5[/mm] + [mm]4x^3[/mm] = 0
> [mm]x^3 (6x^2[/mm] +4) = 0
>
> Also eine Extremstelle [mm]x_E[/mm] = 0
>
> [mm]6x^2[/mm] + 4 = 0 | -4
> [mm]6x^2[/mm] = -4 | : 6
> x² = - 2/3
>
> Wenn ich jetzt hier die Wurzel ziehe wäre ein negatives
> Vorzeichen unter der Wurzel also geht es nicht. Gibt nur
> [mm]x_E[/mm] = 0 oder?
>
> f''(x) = [mm]30x^4[/mm] + [mm]12x^2[/mm]
> f''(0) = 0
> Genau das gleich wie bei der Aufgabe zuvor. Weiß nicht was
> die 0 über die Ausgangsfunktion aussagen könnte :(
>
Korrekt
> Aufgabe e.)
>
> f'(x) = [mm]4x^3-12x^2+12x-4[/mm]
>
> Zuerst durch Polynomdivision und dann durch die p/q Formel
> habe ich herausgefunden das es eine 3fache Nullstelle bei 1
> gibt. Also ist [mm]x_E[/mm] = 1
>
> f''(x) = 12x² -24x + 12
> f''(x) = 0
>
> Alle guten Dinge sind 3 ;)
> Hier ist's auch wieder so das f''(x) = 0 ist und ich
> einfach nicht weiß was es über die Ausgangsfunktion
> aussagen könnte :(
>
Korrekt, Kleiner Tipp: Plotte die Funktionen doch einfach, dann kannst du evtl korrigieren, oder evtl. Nullstellen ablesen, die du für die Polynomdivision erraten musst. Ein solges programm ist z.B. funkyplot.
> Aufgabe f.)
>
> Hier bekomme ich die Ableitung nicht einmal hin :(
> f(x) = 1/2 x - sin x
> f'(x) = 1/2 aber wie ist die Ableitung von - sin x?
>
Die Ableitung von sin x ist cos x, also ist deine Gesuchte Ableitung - cos x. Zur Verdeutlichung: f(x) = sin x, f´(x) = cos x, f´´(x) = - sin x, f´´´(x) = - cos x, f´´´´(x) = sin x.
>
> Aufgabe g.)
>
> f'(x) = [mm]5x^4[/mm] - [mm]15x^2[/mm] + 10
>
> Durch Polynomdivision habe ich hier [mm]x_E_1[/mm] = 1 ; [mm]x_E_2[/mm] = -1
> [mm]x_E_3[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> f''(x) = 2x³ - 30 x
> f''(1) = < 0
> f''(-1) = > 0
> f''( [mm]\wurzel{2})[/mm] = > 0
>
> Also kommt an den Stellen -1 und [mm]\wurzel{2}[/mm] ein relativer
> Tiefpunkt und bei der Stelle ein ein relativer Hochpunkt
> vor!
>
Korrekt, hier wäre Substitution z = x² evtl hilfreicher. Dann kannst du nämlich die p-q- Formel anwenden. Vergiss dann aber nicht, von den Ergebnissen der p-q-Formel die Wurzeln zu ziehen (jeweils+/-)
> Aufgabe h.)
>
> f'(x) = 4x³-6x²+6x-4
>
> Durch Polynomdivision hab ich hier [mm]x_E[/mm] = 1
> Eine weitere gibt es nicht, da sonst bei meinen Rechnungen
> ein negatives Vorzeichen unter der Wurzel stünde.
>
> f''(x) = 12x² -12x + 6
> f''(1) = > 0
>
> Also tritt in der Ausgangsfunktion an der Stelle 1 ein
> relativer Tiefpunkt auf.
Korrekt
>
> Aufgabe i.)
>
> Tja hier bin ich verloren.
> Komm da gar nicht klar.
> Durch die blöden Betragsstriche :(
>
> Würd mich freuen wenn ihr mir helfen könntet.
> Bedanke mich schonmal im Voraus.
Mach einfach eine ganz normale Funktionsunersuchung, aber nur für x [mm] \ge [/mm] 0 . Die Funktion ist achsensymmetrisch, also findest du auch die Extrempunkte im negativen Bereich
>
> MFG
> Kristof
Ich hoffe, ich konnte weiterhelfen
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 So 21.05.2006 | | Autor: | Kristof |
> > f.) f(x) = 1/2x -sin x
> > i.) f(x) = [mm]|x|^3[/mm] + 3 |x|
> > Aufgabe f.)
> >
> > Hier bekomme ich die Ableitung nicht einmal hin :(
> > f(x) = 1/2 x - sin x
> > f'(x) = 1/2 aber wie ist die Ableitung von - sin x?
> >
> Die Ableitung von sin x ist cos x, also ist deine Gesuchte
> Ableitung - cos x. Zur Verdeutlichung: f(x) = sin x, f´(x)
> = cos x, f´´(x) = - sin x, f´´´(x) = - cos x, f´´´´(x) =
> sin x.
Dankeschön.
Komme nun aber wieder nicht weiter also :
[mm] f(x_E) [/mm] = 0
1/2 - cos x = 0 | - 1/2
-cos x = 1/2
Aber wie mache ich jetzt weiter?
Wie bekomm ich x raus?
Sind das eventuell [mm] \pi/3 [/mm] ?
>
> >
> > Aufgabe i.)
> >
> > Tja hier bin ich verloren.
> > Komm da gar nicht klar.
> > Durch die blöden Betragsstriche :(
> >
> > Würd mich freuen wenn ihr mir helfen könntet.
> > Bedanke mich schonmal im Voraus.
>
> Mach einfach eine ganz normale Funktionsunersuchung, aber
> nur für x [mm]\ge[/mm] 0 . Die Funktion ist achsensymmetrisch, also
> findest du auch die Extrempunkte im negativen Bereich
> >
> > MFG
> > Kristof
Auch hier weiß ich nicht weiter .
f'(x) = 3 |x|² + 3
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
3|x|² + 3 = 0 | -3
3|x|² = -3 | :3
|x|² = -1
NUn gehts doch wieder nicht oder?Da ich die Wurzel nicht von negativ ziehen kann :(
>
> Ich hoffe, ich konnte weiterhelfen
>
> Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 So 21.05.2006 | | Autor: | M.Rex |
>
> > > f.) f(x) = 1/2x -sin x
>
> > > i.) f(x) = [mm]|x|^3[/mm] + 3 |x|
>
> > > Aufgabe f.)
> > >
> > > Hier bekomme ich die Ableitung nicht einmal hin :(
> > > f(x) = 1/2 x - sin x
> > > f'(x) = 1/2 aber wie ist die Ableitung von - sin
> x?
> > >
> > Die Ableitung von sin x ist cos x, also ist deine Gesuchte
> > Ableitung - cos x. Zur Verdeutlichung: f(x) = sin x,
> f´(x)
> > = cos x, f´´(x) = - sin x, f´´´(x) = - cos x, f´´´´(x)
> =
> > sin x.
>
> Dankeschön.
> Komme nun aber wieder nicht weiter also :
>
> [mm]f(x_E)[/mm] = 0
> 1/2 - cos x = 0 | - 1/2
> -cos x = 1/2
>
> Aber wie mache ich jetzt weiter?
> Wie bekomm ich x raus?
>
> Sind das eventuell [mm]\pi/3[/mm] ?
>
>
> >
> > >
> > > Aufgabe i.)
> > >
> > > Tja hier bin ich verloren.
> > > Komm da gar nicht klar.
> > > Durch die blöden Betragsstriche :(
> > >
> > > Würd mich freuen wenn ihr mir helfen könntet.
> > > Bedanke mich schonmal im Voraus.
> >
> > Mach einfach eine ganz normale Funktionsunersuchung, aber
> > nur für x [mm]\ge[/mm] 0 . Die Funktion ist achsensymmetrisch,
> also
> > findest du auch die Extrempunkte im negativen Bereich
> > >
> > > MFG
> > > Kristof
>
>
> Auch hier weiß ich nicht weiter .
>
> f'(x) = 3 |x|² + 3
>
> [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> 3|x|² + 3 = 0 | -3
> 3|x|² = -3 | :3
> |x|² = -1
>
> NUn gehts doch wieder nicht oder?Da ich die Wurzel nicht
> von negativ ziehen kann :(
Korrekt
> >
Ich hoffe, ich konnte weiterhelfen
> >
> > Marius
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Sa 27.05.2006 | | Autor: | Kristof |
> >
> > > > f.) f(x) = 1/2x -sin x
> >
> > > > i.) f(x) = [mm]|x|^3[/mm] + 3 |x|
> >
> > > > Aufgabe f.)
> > > >
> > > > Hier bekomme ich die Ableitung nicht einmal hin :(
> > > > f(x) = 1/2 x - sin x
> > > > f'(x) = 1/2 aber wie ist die Ableitung von - sin
> > x?
> > > >
> > > Die Ableitung von sin x ist cos x, also ist deine Gesuchte
> > > Ableitung - cos x. Zur Verdeutlichung: f(x) = sin x,
> > f´(x)
> > > = cos x, f´´(x) = - sin x, f´´´(x) = - cos x,
> f´´´´(x)
> > =
> > > sin x.
> >
> > Dankeschön.
> > Komme nun aber wieder nicht weiter also :
> >
> > [mm]f(x_E)[/mm] = 0
> > 1/2 - cos x = 0 | - 1/2
> > -cos x = 1/2
> >
> > Aber wie mache ich jetzt weiter?
> > Wie bekomm ich x raus?
> >
> > Sind das eventuell [mm]\pi/3[/mm] ?
> >
> >
> > >
> > > >
> > > > Aufgabe i.)
> > > >
> > > > Tja hier bin ich verloren.
> > > > Komm da gar nicht klar.
> > > > Durch die blöden Betragsstriche :(
> > > >
> > > > Würd mich freuen wenn ihr mir helfen könntet.
> > > > Bedanke mich schonmal im Voraus.
> > >
> > > Mach einfach eine ganz normale Funktionsunersuchung, aber
> > > nur für x [mm]\ge[/mm] 0 . Die Funktion ist
> achsensymmetrisch,
> > also
> > > findest du auch die Extrempunkte im negativen
> Bereich
> > > >
> > > > MFG
> > > > Kristof
> >
> >
> > Auch hier weiß ich nicht weiter .
> >
> > f'(x) = 3 |x|² + 3
> >
> > [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> > 3|x|² + 3 = 0 | -3
> > 3|x|² = -3 | :3
> > |x|² = -1
> >
> > NUn gehts doch wieder nicht oder?Da ich die Wurzel nicht
> > von negativ ziehen kann :(
> Korrekt
> > >
> Ich hoffe, ich konnte weiterhelfen
> > >
> > > Marius
>
> Marius
Da bedeutet also ich habe die Aufgaben richtig?
Also ist bei der Aufgabe f.) dann [mm] x_E [/mm] = [mm] \pi/3 [/mm] Ja?
Wenn man das aber in die mit 0 gleichgesetzte Gleichung einsetzt kommt nicht 0 raus da muss doch was falsch sein oder irre ich mich da?
Und bei Aufgabe i.)
Hier gibt es also keine Extremstellen oder wie sehe ich das?
Also brauch ich die 2. Ableitung dann gar nicht erst machen nicht wahr?
Danke schonmal,
MFG
Kristof
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Sa 27.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kristof!
> Also ist bei der Aufgabe f.) dann [mm]x_E[/mm] = [mm]\pi/3[/mm] Ja?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und natürlich alle weiteren Werte, da die Sinus-Funktion periodisch ist.
> Wenn man das aber in die mit 0 gleichgesetzte Gleichung
> einsetzt kommt nicht 0 raus da muss doch was falsch sein
> oder irre ich mich da?
Hast Du den Taschenrechner auch auf $[RAD]_$ eingestellte (also Bogenmaß)?
> Und bei Aufgabe i.)
> Hier gibt es also keine Extremstellen oder wie sehe ich
> das?
Es gibt hier keine Extremstellen mit horizontaler Tangente. Aber Du solltest Dir mal die Nahtstelle bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ genauer betrachten (mittels Grenzwertbetrachtung):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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