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| Aufgabe | Die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] ist gegeben durch
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2sin(\bruch{1}{x^2}), & \mbox{für } x \not= 0\\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}
[/mm]
1. Zeigen Sie, dass f eine horizontale Asymptote hat.
2. Zeigen Sie, dass f stetig ist. |
Hallo,
Bei Aufgabe 1 wollte ich zeigen, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty}f(x) [/mm] = 1
Jedoch weiß ich nicht wie ich anfangen soll. Habe bis jetzt nur umgeformt.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^2sin(\bruch{1}{x^2}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^2*\bruch{e^i^\bruch{1}{x^2}-e^-^i^\bruch{1}{x^2}}{2i}
[/mm]
Könnte mir jemand weiterhelfen?
Gruß, Gratwanderer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Fr 08.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] ist gegeben durch
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2sin(\bruch{1}{x^2}), & \mbox{für } x \not= 0\\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}[/mm]
>
> 1. Zeigen Sie, dass f eine horizontale Asymptote hat.
>
> 2. Zeigen Sie, dass f stetig ist.
> Hallo,
>
> Bei Aufgabe 1 wollte ich zeigen, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)[/mm] = 1
> Jedoch weiß ich nicht wie ich anfangen soll. Habe bis
> jetzt nur umgeformt.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}x^2sin(\bruch{1}{x^2})[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}x^2*\bruch{e^i^\bruch{1}{x^2}-e^-^i^\bruch{1}{x^2}}{2i}[/mm]
>
> Könnte mir jemand weiterhelfen?
mit der Substitution $t = [mm] \bruch{1}{x^2}$ [/mm] bekommst Du
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}x^2sin(\bruch{1}{x^2})=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{sin(t)}{t} [/mm]
FRED
>
> Gruß, Gratwanderer
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Hallo, schreibe den 1. Teil deiner Funktion [mm] (x\not=0) [/mm]
[mm] \bruch{sin(\bruch{1}{x^{2}})}{\bruch{1}{x^{2}}}
[/mm]
für x gegen unendlich hast du den unbestimmten Ausdruck [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
Steffi
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Ok, danke für die schnellen Antworten!
kann man [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{sin(t)}{t} [/mm] = 1 schreiben ? Dann hätte man doch schon gezeigt dass die Funktion die horizontale Asymptote y=1 hat oder?
Und bei Aufgabe 2 habe ich mir überlegt zu zeigen, dass die Funktion im gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist. Daraus würde doch die Stetigkeit folgen oder? Also müsste ich die Funktion ableiten, ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Fr 08.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok, danke für die schnellen Antworten!
>
> kann man [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{sin(t)}{t}[/mm] = 1
> schreiben ? Dann hätte man doch schon gezeigt dass die
> Funktion die horizontale Asymptote y=1 hat oder?
Ja
>
> Und bei Aufgabe 2 habe ich mir überlegt zu zeigen, dass
> die Funktion im gesamten Definitionsbereich differenzierbar
> ist.
Ja , das ist sie
FRED
> Daraus würde doch die Stetigkeit folgen oder? Also
> müsste ich die Funktion ableiten, ist das richtig?
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Die Ableitung ist doch
f'(x) = [mm] 2x*sin(\bruch{1}{x^2}) [/mm] - [mm] \bruch{2}{x}*cos(\bruch{1}{x^2}) [/mm] ?
Und die ist definiert für alle x [mm] \in \IR \backslash [/mm] {0}.
Wenn ich [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow} [/mm] f'(x) berechne bekomme ich [mm] -\infty,
[/mm]
für [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow} [/mm] f'(x) bekomme ich [mm] \infty. [/mm] Oder lieg ich da falsch?
Wie kann ich zeigen, dass die Funktion auch an der Stelle 0 differenzierbar ist?
Gruß, Gratwanderer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Fr 08.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich denke , du musst mit dem Differenzenquotienten arbeiten.
Du versuchst ja so zu zeigen, dass die Ableitung stetig in 0 ist, nicht die Differenzierbarkeit.
Gruss leduart
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Ah ich glaub ich hab's verstanden.. Die Funktion ist auf [mm] \IR \backslash [/mm] {0} differenzierbar, also auch stetig. Da f(0)=0 also auch stetig an der Stelle 0?
die Funktion ist aber nicht stetig differenzierbar? Denn dafür müsste [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f'(x) [/mm] existieren oder?
Gruß, Gratwanderer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Fr 08.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
aber die Frage bleibt, ob sie in 0 differenzierbar ist. dazu muss sie nicht stetig diff. bar sein.
Gruss leduart
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Ok ich hab es mal mit dem Differenzquotienten versucht.
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2sin(\bruch{1}{x^2})-0}{x-0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*sin(\bruch{1}{x^2}) [/mm] = 0
also f'(0) = 0
Ist das so richtig?
Gruß, Gratwanderer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Fr 08.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Ok ich hab es mal mit dem Differenzquotienten versucht.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2sin(\bruch{1}{x^2})-0}{x-0}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x*sin(\bruch{1}{x^2})[/mm] = 0
>
> also f'(0) = 0
>
> Ist das so richtig?
Nein.
Es ist [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x*sin(\bruch{1}{x^2})[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2sin(\bruch{1}{x^2})}{x}[/mm].
Der Zähler dieses letzten Terms geht wie vorhin erwähnt gegen 1 (und das wird dann durch "fast Null" geteilt).
Gruß Abakus
>
> Gruß, Gratwanderer
Oh verdammt,
ich habe was durcheinandergeworfen. Du hast recht. Der Sinus von was auch immer liegt zwischen 1 und -1, und ein solcher Wert multipliziert mit einer gegen Null gehenden Zahl ergibt ein gegen Null gehendes Produkt.
Sorry!
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Ich verstehe nicht warum der Zähler nach 1 geht, wenn x gegen 0 läuft? Er geht doch nach 1 wenn x nach [mm] \infty [/mm] läuft.
Oder habe ich da einen Denkfehler?
Gruß, Gratwanderer
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HallO Gratwanderer,
ich sehe nicht, was an deiner Rechnung falsch ist.
Du hast [mm] $\lim\limits_{x\to 0}x\cdot{}\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$
[/mm]
Der Sinusausdruck ist beschränkt durch [mm] \pm [/mm] 1, das x geht gegen 0, also ergibt sich der GW $f'(0)=0$
Abakus wird vermutlich übersehen haben, dass der Limes, der da 1 ergab, sich für [mm] $x\to\infty$ [/mm] ergibt ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo Gratwanderer!
Wie Fred bereits bestätigt hat, ist Deine Vorgehensweise korrekt. Dieser Nachweis kann aber auch zu scharf sein.
Es reicht hier aus, folgende Grenzwerte zu betrachten:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}x^2*\sin\left(\bruch{1}{x^2}\right) [/mm] \ = \ ...$$
[mm] $$\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}x^2*\sin\left(\bruch{1}{x^2}\right) [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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Hey hey,
ich hab noch eine Frage zu genau der Aufgabe.
das aus der differenzierbarkeit hier die Stetigkeit folgt ist mir ja klar, allerdings setze ich die ja vorraus. weiterhin ist aber in der Aufgabe gefragt, ob die Funktion überhaupt differenzierbar ist. Jetzt hab ich aber doch genau das schon gezeigt, oder? Und stetig differenzierbar ist sie ja nicht, aufgrund des Punktes in x=0 oder hab ich da wieder komplett was durcheinander geworfen??
lg und schönes we :)
die Chrischina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 11.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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