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| Aufgabe | Bestimmen Sie Nullstellen, Polstellen und Asymptote und skizzieren Sie dann das Schaubild von f:
f(x)= [mm] \bruch{x^{2}+3}{x^{2}+1} [/mm] |
hallo zusammen,
über diese Aufgabe muss ich bald einen Vortrag halten und ich brauch die Punkte dringend, deshalb wäre es echt nett, wenn wir jemand aushelfen könnte=)
Zunächst kann man sie Funktion ja mal in den GTR eintippen um zu sehen,
was man ungefähr rausbekommen sollte:
Man sieht eine nach oben geöffnete Parabel, die bei(0/3) die Y-Achse schneidet.
Muss man die Funktion eig irgendwie vereinfachen um die Untersuchung durchführen zu können???
Das ist nämlich die letzte Aufgabe aus einem Schulbuch, und die beinhalten eig. immer irgendwelche Tücken=)
Zu meiner Funktionsuntersuchung:
Wir haben hier ja eine Gebrochen ratitionale Funktion und die Nullstellen
sind die Stellen für die der Zähler 0 wird?!
D.h. es gibt keine(vgl. GTR scheint richtig zu sein?!)
zu den Polstellen:
Eine Polstelle würde vorliegen, wenn die Funktion gegen die Definitionslücke geht und für gegen x gegen +/- unendlich f(x) gegen +/- unendlich läuft, oder?
Da f für R definiert ist, also keine Definitionslücke hat, besitzt sie auch keine Polstelle/n, stimmt das?
Asymptote:
Gilt Zählergrad<Nennergrad läuft f(x) gegen 0 für x gegen +/- unendlich.
Bei Zählergrad>Nennergrad kann man eine Polynomdivision durchführen un ggf. eine schiefe Asymptote zu erhalten.
Hier gilt Zählergrad=Nennergrad(2) Da die Vorzahlen von [mm] x^{2} [/mm] jeweils 1 ist, müsste doch eine waagrechte Asymptote bei 1 vorliegen?
Wenn ich dies mit der Skizze des GTR vergleiche, seh ich aber leider, dass keine Asymptote vorliegt...
Bin grade ziemlich am verzweifeln, weil ich zum einen nicht weiß ob ich die Funktion vereinfach muss irgendwie und warum mein Ergebnis zu den Asymptoten abweicht, bzw einfach falsch ist!?
Und wie sollte ich aus meinen erarbeiteten Informationen auf eine angemessene Skizze kommen?
(also nach oben geöffnete Parabel...siehe oben)
Wäre wirklich jedem sehr dankbar, der mir hier helfen könnte!
Danke schonmal im Vorraus an alle!
MFG
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Hallo Theoretix,
> Bestimmen Sie Nullstellen, Polstellen und Asymptote und
> skizzieren Sie dann das Schaubild von f:
> f(x)= [mm]\bruch{x^{2}+3}{x^{2}+1}[/mm]
> Zunächst kann man sie Funktion ja mal in den GTR eintippen
> um zu sehen,
> was man ungefähr rausbekommen sollte:
> Man sieht eine nach oben geöffnete Parabel, die bei(0/3)
> die Y-Achse schneidet.
Nach oben geöffnet? Tipp das nochmal ein.
> Muss man die Funktion eig irgendwie vereinfachen um die
> Untersuchung durchführen zu können???
> Das ist nämlich die letzte Aufgabe aus einem Schulbuch,
> und die beinhalten eig. immer irgendwelche Tücken=)
Man muss nicht, aber man kann: [mm] \bruch{x^2+3}{x^2+1}=1+\bruch{2}{x^2+1}
[/mm]
> Zu meiner Funktionsuntersuchung:
> Wir haben hier ja eine Gebrochen ratitionale Funktion und
> die Nullstellen
> sind die Stellen für die der Zähler 0 wird?!
> D.h. es gibt keine(vgl. GTR scheint richtig zu sein?!)
Genau. Es gibt keine. Aber verlass Dich nicht auf den GTR, Du könntest ja nur den falschen Ausschnitt gewählt haben (s.u.).
> zu den Polstellen:
> Eine Polstelle würde vorliegen, wenn die Funktion gegen
> die Definitionslücke geht und für gegen x gegen +/-
> unendlich f(x) gegen +/- unendlich läuft, oder?
> Da f für R definiert ist, also keine Definitionslücke hat,
> besitzt sie auch keine Polstelle/n, stimmt das?
Stimmt auch. Der Nenner wird nie Null.
> Asymptote:
> Gilt Zählergrad<Nennergrad läuft f(x) gegen 0 für x gegen
> +/- unendlich.
> Bei Zählergrad>Nennergrad kann man eine Polynomdivision
> durchführen un ggf. eine schiefe Asymptote zu erhalten.
Aber nur, wenn der Zählergrad genau 1 größer ist als der Nennergrad.
> Hier gilt Zählergrad=Nennergrad(2) Da die Vorzahlen von
> [mm]x^{2}[/mm] jeweils 1 ist, müsste doch eine waagrechte Asymptote
> bei 1 vorliegen?
So ist es.
> Wenn ich dies mit der Skizze des GTR vergleiche, seh ich
> aber leider, dass keine Asymptote vorliegt...
Das meine ich. Falscher Ausschnitt. Lass Dir die Funktion mal von x=-10 bis x=+10 zeichnen. Und dann von -100 bis +100. N?
> Bin grade ziemlich am verzweifeln, weil ich zum einen nicht
> weiß ob ich die Funktion vereinfach muss irgendwie und
> warum mein Ergebnis zu den Asymptoten abweicht, bzw einfach
> falsch ist!?
Du rechnest besser. Mit dem GTR kannst Du dann überprüfen, ob die Funktion tatsächlich so aussieht. Wie gesagt, u.U. in größeren Grenzen.
> Und wie sollte ich aus meinen erarbeiteten Informationen
> auf eine angemessene Skizze kommen?
> (also nach oben geöffnete Parabel...siehe oben)
Nach unten geöffnet, und nur etwa zwischen x=-2 und +2 einer Parabel ähnlich.
> Wäre wirklich jedem sehr dankbar, der mir hier helfen
> könnte!
> Danke schonmal im Vorraus an alle!
> MFG
Hattet Ihr schon Ableitungen? Dann könntest du noch die Wendepunkte bestimmen. Das Maximum bei x=0 findet man hier ja auch auf anderem Weg.
Liebe Grüße,
reverend
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Danke hat mir insgesamt sehr geholfen,
hatte eine Klammer nicht gesetzt und deswegen eine andere Parabel mit dem GTR=)
wenn ich dann also als ergebnis habe:
keine Nullstellen, keine Polstellen, und eine waagrechte Asymptote bei y=1,
ist mir noch nicht ganz klar wie ich daraus eine Skizze erstellen kann, die dann auch richtig aussieht=)...
ich weiß ja eig nur dass die Funktion sich an Y=1 annähert und die x Achse nie schneidet...und es heißt in der Aufgabenstellung:
untersuchen Sie auf Nullstellen, Asymptoten, Polstellen..
Die Funktion schneidet ja in 0/3 die Y Achse und nähert sich dann Asymptotisch Y=1...
Kannst du mir noch bitte helfen bei der Skizze, wie ich da drauf komme?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Theoretix!
Es ist schon richtig, dass man weitere Eigenschaften mittels Differenzialrechnungen ermitteln kann (Extremwerte, Wendestellen).
Auf jeden Fall kann man hier die Achsensymmetrie zur y-Achse erkennen, da ausschließelich gerade x-Potenzen vorhanden sind.
Wenn Du nun auch noch die Darstellung
$$f(x) \ = \ [mm] 1+\bruch{2}{x^2+1}$$
[/mm]
(siehe reverend's Antwort) heranziehst, erkannt man, dass die Kurve ausschließlich oberhalb der Asymptote [mm] $y_A [/mm] \ = \ 1$ verläuft.
Damit lässt sich nun eine grobe Skizze erstellen.
Gruß
Loddar
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Wunderbar, danke für die schnelle Antwort!
Dann nur noch eine Frage, wie formt man f um,
dass man auf f(x)=1+ [mm] \bruch{2}{x^{2}+1} [/mm] kommt?
Sry blöde frage eig...=)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Theoretix!
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x^2+3}{x^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2+1+2}{x^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2+1}{x^2+1}+\bruch{2}{x^2+1} [/mm] \ = \ [mm] 1+\bruch{2}{x^2+1}$$
[/mm]
Oder  Polynomdivision ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Theoretix |
Danke euch!
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