Funktionsterm finden < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo liebe Forum- Freunde
Bin bei folgender Aufgabe nicht weiter gekommen,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe;
Aufgabe: Eine zum Koordinatensprung symmetrische Funktion 3.Grades hat an der Stelle -2 einen Tiefpunkt und schließt mit der 1.Achse eine Fläche mit dem Flächeninhalt 18 ein.Bestimme den Funktionsterm.(Hinweis:beachte die Anzahl der Lösungen)
Mein Ansatz:
Eine umgekehrte Kurvendiskussion starten:
1)
[mm] f(x)=ax^3+bx
[/mm]
2)
f'(-2)=0
f(0)=0
Wie muss ich denn weiter fortsetzen,sodass ich die bestimmte Funktion mit dem Flächeninhalt 18 rausfinde?
Ich bedanke mich schon im Voraus.
MfG
Hasan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Mi 26.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der Ansatz bisher ist korrekt
f(x)=ax³+bx
Aus der Tiefpunktbedingung f'(1)=0 folt:
f(x)=3ax²+b
Also 3a+b=0 [mm] \Rightarrow [/mm] b=-3a
Also f(x)=ax³-3ax
Und jetzt kommt die Fläche ins Spiel. Die Nullstellen von f(x) sind 0 und [mm] \pm\wurzel{3}, [/mm] da ax³-3ax=0 [mm] \Righatrrow [/mm] ax(x²-3)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0=x oder 0=x²-3
Also kannst du die von der x-Achse eingschlossene Fläche berechnen mit
[mm] A=\integral_{-\wurzel{3}}^{0}ax³-3axdx+\integral_{0}^{\wurzel{3}}ax³-3axdx
[/mm]
Aus Symmetriegründen reicht es aber, eine der Flächen zu nehmen, und den Wert zu verdoppeln, also:
[mm] A=2*\integral_{0}^{\wurzel{3}}ax³-3axdx
[/mm]
Und hier soll gelten A=18, also
[mm] 18=2*\integral_{0}^{\wurzel{3}}ax³-3axdx
[/mm]
[mm] \gdw 9=[\bruch{a}{4}*(\wurzel{3})^{4}-\bruch{3a}{2}(\wurzel{3})^{2}]
[/mm]
[mm] \gdw 9=[\bruch{a}{4}*9-\bruch{3a}{2}*3]
[/mm]
[mm] \gdw\vdots
[/mm]
Daraus kannst du jetzt dein a bestimmen, und damit dann die Funktion.
Kommst du damit erstmal weiter? Wenn nicht, frage nach.
Marius
|
|
|
| |
|
Erstmals vielen Dank für deine Hilfe
Hab nur ne Frage;
Aus der Tiefpunktbedingung f'(1)=0 folt:
f(x)=3ax²+b
Also 3a+b=0 b=-3a
Also f(x)=ax³-3ax
Und jetzt kommt die Fläche ins Spiel. Die Nullstellen von f(x) sind 0 und da ax³-3ax=0 ax(x²-3)=0 0=x oder 0=x²-3
es müsste ja eigentlich heißen:
Aus der Tiefpunktbedingung f'(-2)=0 folgt;
Hat dieser Tippfehler von oben denn einfluss auf die folgende Rechnung?
MfG
Hasan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mi 26.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Hasan
> Erstmals vielen Dank für deine Hilfe
>
> Hab nur ne Frage;
>
> Aus der Tiefpunktbedingung f'(1)=0 folt:
>
> f(x)=3ax²+b
> Also 3a+b=0 b=-3a
>
> Also f(x)=ax³-3ax
>
> Und jetzt kommt die Fläche ins Spiel. Die Nullstellen von
> f(x) sind 0 und da ax³-3ax=0 ax(x²-3)=0 0=x oder 0=x²-3
>
> es müsste ja eigentlich heißen:
>
> Aus der Tiefpunktbedingung f'(-2)=0 folgt;
> Hat dieser Tippfehler von oben denn einfluss auf die
> folgende Rechnung?
>
> MfG
> Hasan
Ja, hat es leider, denn f'(2)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 3a*(-2)²+b=0 [mm] \gdw [/mm] b=-12a
Damit sind die Nullstellen: 0 und [mm] \pm\wurzel{12}
[/mm]
Und damit die Fläche:
$ [mm] A=2\cdot{}\integral_{0}^{\wurzel{\red{12}}}ax³-\red{12}axdx [/mm] $
Der Rechenweg bleibt aber identisch.
Marius
|
|
|
| |
|
Hallo
Und hier soll gelten A=18, also
Und hier soll gelten A=18, also
[mm] 18=2*\integral_{0}^{\wurzel{3}}ax³-3axdx [/mm]
[mm] \gdw 9=[\bruch{a}{4}*(\wurzel{3})^{4}-\bruch{3a}{2}(\wurzel{3})^{2}] [/mm]
[mm] \gdw 9=[\bruch{a}{4}*9-\bruch{3a}{2}*3] [/mm]
[mm] \gdw\vdots [/mm]
wieso kommt nachdem wir die gleichung mit 2 dividiert haben, [mm] \bruch{a}{4} [/mm] raus und nicht [mm] \bruch{a}{2}?
[/mm]
Vielen dank nochmal
MfG hasan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mi 26.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mal etwas ausführlicher:
$ [mm] 18=2\cdot{}\integral_{0}^{\wurzel{3}}ax³-3axdx [/mm] $
[mm] \gdw 18=2*[\bruch{a}{4}\cdot{}x^{4}-\bruch{3a}{2}x^{2}]_{0}^{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] \gdw 9=[\bruch{a}{4}\cdot{}x^{4}-\bruch{3a}{2}x^{2}]_{0}^{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] \gdw 9=[\bruch{a}{4}\cdot{}(\wurzel{3})^{4}-\bruch{3a}{2}(\wurzel{3})^{2}]
[/mm]
$ [mm] \gdw 9=[\bruch{a}{4}\cdot{}((\wurzel{3})²)^{2}-\bruch{3a}{2}(\wurzel{3})^{2}] [/mm] $
$ [mm] \gdw 9=[\bruch{a}{4}\cdot{}(3)^{2}-\bruch{3a}{2}*(3)] [/mm] $
[mm] \gdw 9=[\bruch{9a}{4}-\bruch{9a}{2}]
[/mm]
Aber du musst ja eh die falschen Werte anpassen.
Marius
|
|
|
| |
|
hallo
was meint...
[mm] \gdw 18=2*[\bruch{a}{4}\cdot{}x^{4}-\bruch{3a}{2}x^{2}]_{0}^{\wurzel{3}} [/mm]
das nach der eckigen klammer [mm] _{0}^{\wurzel{3}} [/mm] ?
Und wie haben wir das weg bekommen?
MfG
Hasan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Mi 26.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ist das "Aufgelöste" Integral
[mm] \integral_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
erstmals danke nochmal für die Erläuterung
Nun habe ich folgendes gerechnet :
$ [mm] 18=2\cdot{}\integral_{0}^{\wurzel{12}}ax³-12axdx [/mm] $
[mm] \gdw 18=2*[\bruch{a}{4}\cdot{}x^{4}-\bruch{12a}{2}x^{2}]_{0}^{\wurzel{12}} [/mm]
[mm] \gdw 9=[\bruch{a}{4}\cdot{}x^{4}-\bruch{12a}{2}x^{2}]_{0}^{\wurzel{12}} [/mm]
$ [mm] \gdw 9=[\bruch{a}{4}\cdot{}(12)^{2}-\bruch{12a}{2}*(12)] [/mm] $
[mm] \gdw 9=[\bruch{144a}{4}-\bruch{288a}{4}] [/mm]
somit habe ich dann
a= [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] oder?
und wie bestimme ich den Funktionsterm?
Vielen Dank nochmal
MfG
Hasan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Mi 26.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das sieht soweit gut aus. Aber beachte, dass du auch mit [mm] a=\bruch{1}{4} [/mm] diese Fläche bekommst, denn auch dann bekommst du eine Fläche mit A=18FE
Marius
|
|
|
| |
|
hallo
wie lautet denn jetzt mein Funktionsterm und wie könnte ich die Probe machen,dass der errechnete Funktionsterm stimmt?
Vielen dank
MfG
Hasan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mi 26.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hasttest ja:
f(x)=ax³-12ax
Mit [mm] a=-\bruch{1}{4} [/mm] ergibt sich:
[mm] f(x)=-\bruch{1}{4}x³+3x
[/mm]
(Mit [mm] a=+\bruch{1}{4} [/mm] dementsprechend [mm] f(x)=\bruch{1}{4}x³-3x [/mm] also die gespiegelte Funktion)
Und wenn du jetzt [mm] -\bruch{1}{4}x³+3x [/mm] auf Extrempunkte untersuchst, sollte ein Extrempunkt an der Stelle x=-2 herauskommen (und einer wegen der Symmetrie an der Stelle x=+2)
Marius
|
|
|
| |
|
hallo
ich komme leider nicht auf 18
meine rechnung:
[mm] \integral_{-2}^{0}{f(x) dx}=-5,betrag [/mm] davon=5
[mm] \integral_{0}^{2}{f(x) dx}=5
[/mm]
5+5=10,also falsch
wie komme ich denn wieder auf 18?
MfG
Hasan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mi 26.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
Die frage nehme ich zurück,hat sich selbst geklärt.
Vielen Dank nochmal M.Rex für deine Mühe
MfG
Hasan
|
|
|
| |
|
hallo
ich verstehe leider immer noch nicht wieso beim aufgelösten Integral
[mm] \bruch{a}{4} [/mm] steht.Wieso durch 4?
Vielen Dank im Voraus
MfG
Hasan
|
|
|
| |
|
Hallo plutino99!
> ich verstehe leider immer noch nicht wieso beim aufgelösten
> Integral
> [mm]\bruch{a}{4}[/mm] steht.Wieso durch 4?
Na, weil die Stammfunktion von [mm] x^3 [/mm] genau [mm] \frac{x^4}{4} [/mm] ist.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
|
