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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionsschar [mm] f_n [/mm] mit: [mm] f_n(x)=\bruch{3e^x}{(1+e^x)^n}, [/mm] n [mm] \in [/mm] {1;2;...} , x [mm] \in \IR
[/mm]
Die Stammfunktion von [mm] f_n [/mm] für jedes n [mm] \in [/mm] {2;3...} lautet:
[mm] F_n(x)=\bruch{3(1+e^x)^{1-n}}{(1-n)}
[/mm]
Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktionen [mm] f_2 [/mm] und [mm] f_3 [/mm] im gesamten Bereich x<0 !
HINWEIS: Keine zwei Funktionen der Schar haben einen gemeinsamen Punkt. |
Die beiden Funktionen lauten:
[mm] f_2(x)=3e^x(1+e^x)^{-2} [/mm] und [mm] f_3(x)=3e^x(1+e^x)^{-3}
[/mm]
Der Graph von [mm] f_2 [/mm] liegt über dem von [mm] f_3. [/mm] Als Intervall haben wir keine Schnittpunkte sondern die Null als obere Intervallgrenze und als untere Intervallgrenze a, das gegen [mm] -\infty [/mm] geht. Die gesuchte Fläche erhält man durch Integration der Differenz der beiden Funktionsterme.
Jetzt kann man natürlich die in der Aufgabe angegebene Stammfunktion für die Berechnung der gesuchten Fläche benutzen und stellt folgende Gleichung auf:
[mm] \limes_{a\rightarrow-\infty}\integral_{a}^{0}{(f_2(x)-f_3(x)) dx}=\limes_{a\rightarrow-\infty}[\bruch{3(1+e^x)^{1-2}}{(1-2)}-\bruch{3(1+e^x)^{1-3}}{(1-3)}]^{0}_{a}
[/mm]
Nach Einsetzen fällt das [mm] e^{a} [/mm] weg, das der Grenzwert für a gegen minus unendlich gleich Null ist. Das Ergebnis ist dann: 0.375 FE
Ich versuchte aber die Differenzfunktion von [mm] f_2 [/mm] und [mm] f_3 [/mm] zu benutzen und rechnete wie folgt:
[mm] d(x)=f_2(x)-f_3(x)=3e^{2x}(1+e^x)^{-3} [/mm] jetzt bestimmte ich die die Stammfunktion D(x) und erhielt:
[mm] D(x)=-\bruch{1.5(1+2e^x)}{(1+e^x)^2}
[/mm]
Jetzt stellte ich die Gleichung zur Flächenberechnung so auf:
[mm] \limes_{a\rightarrow-\infty}\integral_{a}^{0}{d(x) dx}=\limes_{a\rightarrow-\infty}\integral_{a}^{0}{(3e^{2x}(1+e^x)^{-3}) dx}=[-\bruch{1.5(1+2e^x)}{(1+e^x)^2}]^{0}_{a}=
[/mm]
[mm] -0.375\bruch{(3e^{2a}-2e^{a}-1)}{(e^{a}+1)^2} [/mm] da [mm] e^{a} [/mm] und [mm] e^{2a} [/mm] den Grenzwert Null haben, fallen sie weg.
Übrig bleibt:
[mm] \limes_{a\rightarrow-\infty}\integral_{a}^{0}{(3e^{2x}(1+e^x)^{-3}) dx}= [/mm] -0.375*-1= 0.375 FE
Habe ich es mir hierbei zu schwierig gemacht und hätte die Differenzfunktion ruhig weglassen können ?
Schorsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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Hallo Georg,
> Gegeben ist die Funktionsschar [mm]f_n[/mm] mit:
> [mm]f_n(x)=\bruch{3e^x}{(1+e^x)^n},[/mm] n [mm]\in[/mm] {1;2;...} , x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Die Stammfunktion von [mm]f_n[/mm] für jedes n [mm]\in[/mm] {2;3...} lautet:
>
> [mm]F_n(x)=\bruch{3(1+e^x)^{1-n}}{(1-n)}[/mm]
>
> Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen
> der Funktionen [mm]f_2[/mm] und [mm]f_3[/mm] im gesamten Bereich x<0 !
> HINWEIS: Keine zwei Funktionen der Schar haben einen
> gemeinsamen Punkt.
> Die beiden Funktionen lauten:
>
> [mm]f_2(x)=3e^x(1+e^x)^{-2}[/mm] und [mm]f_3(x)=3e^x(1+e^x)^{-3}[/mm]
>
> Der Graph von [mm]f_2[/mm] liegt über dem von [mm]f_3.[/mm] Als Intervall
> haben wir keine Schnittpunkte sondern die Null als obere
> Intervallgrenze und als untere Intervallgrenze a, das gegen
> [mm]-\infty[/mm] geht. Die gesuchte Fläche erhält man durch
> Integration der Differenz der beiden Funktionsterme.
>
> Jetzt kann man natürlich die in der Aufgabe angegebene
> Stammfunktion für die Berechnung der gesuchten Fläche
> benutzen und stellt folgende Gleichung auf:
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow-\infty}\integral_{a}^{0}{(f_2(x)-f_3(x)) dx}=\limes_{a\rightarrow-\infty}[\bruch{3(1+e^x)^{1-2}}{(1-2)}-\bruch{3(1+e^x)^{1-3}}{(1-3)}]^{0}_{a}[/mm]
>
> Nach Einsetzen fällt das [mm]e^{a}[/mm] weg, das der Grenzwert für a
> gegen minus unendlich gleich Null ist. Das Ergebnis ist
> dann: 0.375 FE
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") [mm] $=\frac{3}{8}$
[/mm]
>
> Ich versuchte aber die Differenzfunktion von [mm]f_2[/mm] und [mm]f_3[/mm] zu
> benutzen und rechnete wie folgt:
>
> [mm]d(x)=f_2(x)-f_3(x)=3e^{2x}(1+e^x)^{-3}[/mm] jetzt bestimmte ich
> die die Stammfunktion D(x) und erhielt:
>
> [mm]D(x)=-\bruch{1.5(1+2e^x)}{(1+e^x)^2}[/mm]
>
> Jetzt stellte ich die Gleichung zur Flächenberechnung so
> auf:
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow-\infty}\integral_{a}^{0}{d(x) dx}=\limes_{a\rightarrow-\infty}\integral_{a}^{0}{(3e^{2x}(1+e^x)^{-3}) dx}=[-\bruch{1.5(1+2e^x)}{(1+e^x)^2}]^{0}_{a}=[/mm]
>
> [mm]-0.375\bruch{(3e^{2a}-2e^{a}-1)}{(e^{a}+1)^2}[/mm]
Wie hast du das zusammengefasst?
Das sehe ich so auf die Schnelle nicht, aber Das Endergebnis stimmt.
Ich würde immer multiplikative Konstante rausziehen, also [mm] $-1,5\cdot{}\left[\frac{1+2e^x}{(e^x+1)^2}\right]_a^0$ [/mm] rechnen
> da [mm]e^{a}[/mm] und
> [mm]e^{2a}[/mm] den Grenzwert Null haben, fallen sie weg.
>
> Übrig bleibt:
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow-\infty}\integral_{a}^{0}{(3e^{2x}(1+e^x)^{-3}) dx}=[/mm]
> -0.375*-1= 0.375 FE
Das passt
>
> Habe ich es mir hierbei zu schwierig gemacht und hätte die
> Differenzfunktion ruhig weglassen können ?
Das kommt darauf an, was für dich einfacher zu integrieren ist bzw. war.
Wenn du besser die beiden einzelnen Funktionen integrieren konntest, mache es so und schreibe es als Summe (Differenz) nachher zusammen.
Wenn du $d(x)$ einfacher zu integrieren findest, mache es halt direkt über die Diffenrenzfunktion
>
> Schorsch
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum
> gestellt.
>
LG
schachuzipus
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Hallo Schachuzipus, danke für die Antwort.
Zum Zusammenfassen von [mm] f_2(x) [/mm] und [mm] f_3(x) [/mm] habe ich den Funktionsterm von [mm] f_2(x) [/mm] mit [mm] (1+e^x) [/mm] erweitert.
Das Herausziehen der multiplikativen Konstante hatte ich (in der Eile) vergessen.
mfg Schorsch
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Hallo,
> Hallo Schachuzipus, danke für die Antwort.
>
> Zum Zusammenfassen von [mm]f_2(x)[/mm] und [mm]f_3(x)[/mm] habe ich den
> Funktionsterm von [mm]f_2(x)[/mm] mit [mm](1+e^x)[/mm] erweitert.
 das war mir schon klar, ich blicke nur den letzten Schritt nach dem Einsetzen der Grenzen nicht ...
Aber egal, denn das Ergebnis stimmt, der Schritt wird also auch stimmen
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> Das Herausziehen der multiplikativen Konstante hatte ich
> (in der Eile) vergessen.
>
> mfg Schorsch
>
LG
schachuzipus
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