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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Amy1988 |
| Aufgabe | | Für welche quadratische Fznktion [mm] f_a [/mm] ist f(0)=f(2)=0 und f'(1)=0? |
Hallo ihr Lieben!
Also, irgendwie bringt mich diese Aufgabe hier zur Verzweiflung...
Ich habe aus der Aufgabenstellung die Information entnommen, dass es sich um eine wuadratische Funktion handelt, daraufhin habe ich diese Gleichung aufgestellt
[mm] f_a(x) [/mm] = [mm] ax^2 [/mm] + ax + a
Ich weiß aber erstens nicht, ob das so überhaupt stimmt uns zweitens, kann ichd ei anderen Informationen nicht so verarbeiten, als dass ich da eine richtige Funktionsgleichung rausbekomme!
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
LG, Amy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amy!
Du musst schon zunächst die allgemeine Parabelgleichung mit $p(x) \ = \ [mm] a*x^2+b*x+c$ [/mm] aufstellen. Am Ende verbleibt der Wert $a_$ noch als Parameter übrig.
Da Du zwei Nullstellen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] gegeben hast, kannst Du auch die faktorisierte Form der Parabelgleichung verwenden. Damit bist Du ganz schnell am Ziel:
[mm] $$p_a(x) [/mm] \ = \ [mm] a*\left(x-x_1\right)*\left(x-x_2\right)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Amy1988 |
Hallo Loddar!
Danke für die schnelle Antwort!
Ich habe es jetzt mal so gemacht:
[mm] f_a(x) [/mm] = [mm] ax^2 [/mm] + bx + c
f(0)=0 -> c = 0
f(2)=0 -> 4a + 2b = 0
f'(1)=0 -> 2a+b = 0 <-> b = -2a
Dann b in die zweite Gleichung einsetzen
4a + 2(-2a) = 0
4a - 4a = 0
0 = 0
Und das ist irgendwie irritieren für mich?!
Was sagt mir das denn?
LG, Amy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amy!
Die beiden Gleichungen (2) ubnd (3) sind identisch (stelle die 2. Gleichung mal nach $b \ = \ ...$ um).
Aber Du hast doch $c \ = \ 0$ sowie $b \ = \ -2a$ ermittelt. Setze das nun in die Parabelgleichung ein.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Amy1988 |
Hmm...
also wenn ich das einsetze, dann hätte ich ja
[mm] f_a(x) [/mm] = -2ax
Ode rmuss ich das [mm] ax^2 [/mm] auch noch davorschreiben?
Und wenn ja, warum?
Es ist mir schon klar, dass es eine quadratische Funktion bleiben muss, aber ich verstehe auf Grund der Rechnung dann nicht genau, warum ich das davorstehenlasse, bzw. was es mir sagt, wenn die beiden Bedingungsgleichungen gleich sind?!
LG, Amy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amy!
Du musst die ermittelten Werte ja in die Parabelgleichung (und nicht in die Ableitungsfunktion einsetzen):
$$p(x) \ = \ [mm] a*x^2+ [/mm] \ [mm] \red{b}*x+ [/mm] \ [mm] \blue{c} [/mm] \ = \ [mm] a*x^2+ [/mm] \ [mm] (\red{-2a})*x+ [/mm] \ [mm] \blue{0} [/mm] \ = \ [mm] a*x^2-2a*x [/mm] \ = \ [mm] a*\left(x^2-2x\right)$$
[/mm]
Bei dieser Aufgabe waren nur zwei Informationen für die Parabelgleichung gegeben und nicht scheinbar drei. Denn $p'(1) \ = \ 0$ folgt unmittelbar aus $p(0) \ = \ p(2) \ = \ 0$ , da der Scheitelpunkt einer Parabel immer genau in der Mitte zwischen zwei (evtl. vorhandenen) Nullstellen liegt.
Gruß
Loddar
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