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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo
Habe die Aufgaben gelöst. Vielleicht kann ja jemand nachgucken, ob sie richtig sind.
a) f´(x) = 0,5*( t- [mm] \bruch{1}{x})
[/mm]
Erste Ableitung Null setzen --> notwendige Bedingung Extremstellen.
f´(x) = 0
0,5*( t- [mm] \bruch{1}{x}) [/mm] = 0
Da kommt dann x= [mm] \bruch{1}{t} [/mm] raus
Zweite Ableitung von x muss ungleich Null --> hinreichende Bedingung
f´´(x) = [mm] \bruch{1}{2x^{2}}
[/mm]
f´´(1/t)= [mm] \bruch{t^{2}}{2}
[/mm]
f´´(x) ist immer pos. --> Minimum. Für t=0 gibt es kein Minimum
Der Extrempunkt/ Minimumpunkt lautet E( [mm] \bruch{1}{t}/ 0,5*(1-ln\bruch{1}{t})
[/mm]
b) Minimum wurde schon in a) bestimmt!
y-Wert vom Minimumpunkt muss 1 sein, damit Emin auf der Geraden y=1 liegt.
[mm] f(\bruch{1}{t})= [/mm] 1
[mm] 0,5*(1-ln\bruch{1}{t})=1
[/mm]
[mm] ln\bruch{1}{t}= [/mm] -1
t= [mm] \bruch{1}{e^{-1}}
[/mm]
t ist ungefähr 2,718
y-Wert von Emin muss Null sein, damit Emin auf x-Achse liegt.
[mm] 0,5*(1-ln\bruch{1}{t})=0
[/mm]
[mm] ln\bruch{1}{t}=1
[/mm]
t= [mm] \bruch{1}{e^{1}}
[/mm]
t ist ungefähr 0,368
c)
Notwendige Bedingung Wendstellen:
f´´(x) = 0
[mm] \bruch{1}{2x^{2}} [/mm] = 0
[mm] 1\not=0
[/mm]
Es gibt keinen Graphen mit Wendestellen
d) Nullstellen:
f(x) = 0
0,5*(tx-lnx) = 0
tx-lnx =0
tx= lnx
So hier komm ich nicht weiter. Kann mir da jemand helfen?
Mfg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Fr 06.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo
> Habe die Aufgaben gelöst. Vielleicht kann ja jemand
> nachgucken, ob sie richtig sind.
> a) f´(x) = 0,5*( t- [mm]\bruch{1}{x})[/mm]
> Erste Ableitung Null setzen --> notwendige Bedingung
> Extremstellen.
>
> f´(x) = 0
> 0,5*( t- [mm]\bruch{1}{x})[/mm] = 0
> Da kommt dann x= [mm]\bruch{1}{t}[/mm] raus
>
> Zweite Ableitung von x muss ungleich Null --> hinreichende
> Bedingung
>
> f´´(x) = [mm]\bruch{1}{2x^{2}}[/mm]
>
> f´´(1/t)= [mm]\bruch{t^{2}}{2}[/mm]
>
> f´´(x) ist immer pos. --> Minimum. Für t=0 gibt es kein
> Minimum
Das ist korrekt so. Beachte aber, dass für t=o [mm] x=\bruch{1}{t} [/mm] gar nicht definiert ist.
>
> Der Extrempunkt/ Minimumpunkt lautet E( [mm]\bruch{1}{t}/ 0,5*(1-ln\bruch{1}{t})[/mm]
Korrekt
>
> b) Minimum wurde schon in a) bestimmt!
Nicht ganz. Gibt es einen "absoluten Tiefpunkt", also ein t, für dass ich die niedrigste y-Koordinate erhalte.
Suche also mal den Tiefpunkt von der y-Koordinate
Also [mm] y(t)=0,5*\left(1-\ln\left(\bruch{1}{t}\right)\right)
[/mm]
> y-Wert vom Minimumpunkt muss 1 sein, damit Emin auf der
> Geraden y=1 liegt.
>
> [mm]f(\bruch{1}{t})=[/mm] 1
> [mm]0,5*(1-ln\bruch{1}{t})=1[/mm]
> [mm]ln\bruch{1}{t}=[/mm] -1
> t= [mm]\bruch{1}{e^{-1}}[/mm]
> t ist ungefähr 2,718
naja, lass doch ruhig t=e stehen.
>
> y-Wert von Emin muss Null sein, damit Emin auf x-Achse
> liegt.
>
> [mm]0,5*(1-ln\bruch{1}{t})=0[/mm]
> [mm]ln\bruch{1}{t}=1[/mm]
> t= [mm]\bruch{1}{e^{1}}[/mm]
> t ist ungefähr 0,368
>
Okay, lass abe ruhig die Lösungen mit e stehen, also [mm] t=e^{-1}
[/mm]
> c)
>
> Notwendige Bedingung Wendstellen:
> f´´(x) = 0
> [mm]\bruch{1}{2x^{2}}[/mm] = 0
> [mm]1\not=0[/mm]
> Es gibt keinen Graphen mit Wendestellen
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
>
> d) Nullstellen:
> f(x) = 0
> 0,5*(tx-lnx) = 0
> tx-lnx =0
> tx= lnx
>
> So hier komm ich nicht weiter. Kann mir da jemand helfen?
tx= lnx
[mm] \Rightarrow t=\bruch{\ln(x)}{x}
[/mm]
Betrachte also mal den Wertebereich der Funktion [mm] t(x)=\bruch{\ln(x)}{x}
[/mm]
Diese Funktion hat für [mm] x\to\infty [/mm] eine waagerechte Asymptote.
>
> Mfg
>
Marius
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Ja der Term streb gegen 0 , da der Nenner schneller wächst als der Zähler. Aber ich muss ja nach x umstellen und nicht nach t oder?
danke für deine Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Mimmimausi,
Wenn Du wissen willst, für welche t die Funktion keine Nullstellen hat, kannst Du Dir überlegen, für welche t der absolute Tiefpunkt oberhalb der x-Achse liegt. Den relativen Tiefpunkt hast Du ja für t>0 bereits bestimmt (für t<0 liegt [mm] x_{min} [/mm] nicht im Definitionsbereich). Überleg Dir, ob es auch ein absoluter Tiefpunkt ist. Wenn ja, musst Du nur noch untersuchen, für welche t der Funktionswert $ [mm] f(t_{min}) [/mm] > 0 $ gilt.
Du musst aber dann noch den Fall t<0 gesondert untersuchen.
Gruß
Sigrid
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wie bekomme ich es denn raus dass es ein absoluter tiefpunkt ist?
danke schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo mimmimausi!
Betrachte (neben dem Funktionswert des ermittelten Tiepfpunktes) das Randverhalten der gegebenen Funktion.
Was passiert für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ bzw. [mm] $x\rightarrow+\infty$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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Ich erkenne am Graphen selber, dass es gegen Null unendlich wird und gegen unendlich genauso. Ich stehe geraden aufen Schlauch und weiß nicht so genau wie ich das beweisen könnte?.
Muss man das am Term selbst beweisen. wenn x gegen 0 strebt werden die Funktionswerte aufgrund von - lnx immer größer. wenn x gegen unendlich strebt werden die Funktionswerte durch tx-lnx immer größer, da tx schneller wächst als lnx.
Gut nun weiß ich das der term ein absoluter Tiefpunkt ist.
Ich weiß, dass der Funktionswert vom Tiefpunkt 0,5*(1-ln(1/t)) ist. Für negative t gibt es keine Werte, da ln für neg nicht definiert ist. genauso ist es bei t=0. für pos.
Bei b habe ich ja schon ausgrechnet für welche werte t der tiefpunkt auf der x-achse liegt. kann ich dann einfach sagen, dass bei alle werte von t außer bei diesem wert keine nullstelle vorhanden ist? Wie sieht es bei negativen t aus. die haben wenn man sich welche zeichnet nullstellen. wie berechnet man das?
danke
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nicht ganz. Der Parameter $t_$ muss schon die Gleichung $t \ > \ [mm] \bruch{1}{e}$ [/mm] erfüllen (Bedingung für Minimum auf x-Achse).
Newton-Verfahren