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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:06 Di 29.01.2013 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | | Sei [mm] f_{1} [/mm] (x) = sin x und [mm] f_{n+1} [/mm] (x) [mm] =f_{1} (f_{n} [/mm] (x)). Konvergiert [mm] f_{n} [/mm] punktweise bzw. gleichmäßig auf [mm] \IR? [/mm] |
Guten Morgen,
sitze an obiger Aufgabe und ... nichts.... bzw. nicht viel fällt mir dazu ein. Aber was mir einfällt schreibe ich hier mal rein und hoffe das mir jemand weiterhelfen kann.
Also:
f(x)=sin x , der Definitionsbereich ist ganz [mm] \IR [/mm] und der Wertebereich ist [1,-1]
[mm] f_{2}=sin(sin(x)) [/mm] mit Defibereich [1,-1] und Wertebereich gleich [sin 1,sin -1]
[mm] f_{3}=sin(sin(sin(x))) [/mm] mit Defibereich [sin 1,sin -1] und Wertebereich [sin(sin 1),sin(sin -1)]
...
Für genügend große n ist der Wertebereich eine Epsilon- Umgebung um den Nullpunkt.
d.h. Das der Grenzwert von [mm] f_{n} [/mm] gegen 0 geht, für n gegen unendlich.
Allerdings müsste ich das vernünftig zeigen und nicht anhand von meiner Logik festmachen.
Wenn ich das gezeigt habe, kann ich dann daraus folgern dass [mm] |f_{n}|<1/n [/mm] ist?
Und wie zeige ich das f(x)=0 ist? (Tip vom Tut)
Eine Bildungvorschrift für [mm] f_{n} [/mm] zu finden war mir nicht möglich...und anderen auch nicht,
denke auch dass es nicht möglich ist...
Wenn mir hier jemand helfen könnte, wäre ich superfroh.
Silfide
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Hallo silfide,
ich werfe mal mit zwei Begriffen um mich, ohne dass ich jetzt die Zeit hätte, mich wirklich mit dem Problem zu beschäftigen. Ich stelle daher mal auf teilweise beantwortet.
Die Sinusfunktion ist lipschitz-stetig und damit eine Kontraktion, irgendwie sollte man das doch hier gewinnbringend verwenden können.
EDIT: sorry, das war halt mal ein Schnellschuss der danebenging.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Di 29.01.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo Diophant,
wir hatten meines Wissens nach noch keine Lipnizstetigkeit und daher kann ich es auch nicht benutzrn...
Trotzdem Danke..
Silfide
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 Di 29.01.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Diophant,
> Die Sinusfunktion ist lipschitz-stetig und damit eine Kontraktion
der Satz stimmt hier aus zwei Gründen nicht so ganz.
1.) Nicht jede Lipschitz-stetige Funktion ist eine Kontraktion
2.) Die Sinus-Funktion ist "gerade so" keine, da L=1
MFG,
Gono.
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Hallo Silfide,
die Aufgabe ist ja doch recht schön (und bei weitem nicht so schwer, wie du es dir gerade machst):
> f(x)=sin x , der Definitionsbereich ist ganz [mm]\IR[/mm] und der Wertebereich ist [1,-1]
> [mm]f_{2}=sin(sin(x))[/mm] mit Defibereich [1,-1] und Wertebereich gleich [sin 1,sin -1]
> [mm]f_{3}=sin(sin(sin(x)))[/mm] mit Defibereich [sin 1,sin -1] und Wertebereich [sin(sin 1),sin(sin -1)]
Oder allgemein: Der Wertebereich von [mm] f_n [/mm] ist [mm] $\left[f_{n-1}(-1),f_{n-1}(1)\right]$ [/mm] und insbesondere ist [mm] $f_{n-1}(-1) [/mm] = [mm] -f_{n-1}(1)$ [/mm] (das brauchen wir aber eigentlich nur fürs schnellere aufzuschreiben).
Nun gilt also:
[mm] $f_n \in \left[f_{n-1}(-1),f_{n-1}(1)\right] \Rightarrow |f_n| \le f_{n-1}(1) \to [/mm] 0$ und damit ist die Konvergenz gleichmäßig, da unabhängig von x (wenn wir zeigen könnten [mm] $f_n(1) \to [/mm] 0$ für [mm] $n\to \infty$).
[/mm]
Das ist aber auch nicht schwer, schauen wir uns nochmal die Folge für x=1 an:
[mm] $f_{n+1}(1) [/mm] = [mm] \sin(f_n(1))$
[/mm]
Zeige nun: [mm] $f_n(1)$ [/mm] bildet eine monoton fallende, nach unten beschränkte Folge.
Das bringt dir was? 
Gruß
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Di 29.01.2013 | | Autor: | silfide |
Oh ja... das bringt mir was! Ich danke dir vielmals.
Mia
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