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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 So 14.06.2009 | | Autor: | ftm2037 |
| Aufgabe | Berechne die Laurentreihenentwicklung der Potenzreihe
[mm] f(z)=\bruch{z+2}{z^2+4z+3}
[/mm]
auf dem Kreis Ring 1<|z|<3. |
Hallo,
ich habe erst durch Partialbruchzerlegung den Funktionsterm zerlegt:
[mm] f(z)=\bruch{\bruch{5}{2}}{z-3}+\bruch{\bruch{-3}{2}}{z-1}
[/mm]
Dann die geometrische Reihe verwendet:
[mm] f(z)=\bruch{5}{2}*\bruch{-1}{3}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{3}}+\bruch{-3}{2}*\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}=
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{-3}{2}*(\bruch{1}{z})^{n+1}+\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{-5}{2}*(\bruch{1}{3})^{n+1}*z^n=
[/mm]
[mm] \summe_{i=-1}^{-\infty} \bruch{-3}{2}*z^n+\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{-5}{2}*(\bruch{1}{3})^{n+1}*z^n
[/mm]
Der erster Summand ist Hauptteil und der Zweite Nebenteil der Laurentreihe.
Soweit ok. Ich weiß nur nicht genau, um welchen Punkt muss man die Entwicklung machen? Ich denke um Punkt null, da der Kreisring alle |z| zwischen 1 und 3 enthält. Also werde ich in der Skizze 2 Kreise um Punkt null haben. Mit R1=1 und R2=3.
Ist das richtig? Muss man um die Nulsstellen vom Nenner 1 und 3 auch die Entwicklung machen oder laut der Aufgabestellung ist das nicht nötig?
Grüße
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Hallo ftm2037,
> Berechne die Laurentreihenentwicklung der Potenzreihe
> [mm]f(z)=\bruch{z+2}{z^2+4z+3}[/mm]
> auf dem Kreis Ring 1<|z|<3.
> Hallo,
>
> ich habe erst durch Partialbruchzerlegung den Funktionsterm
> zerlegt:
>
> [mm]f(z)=\bruch{\bruch{5}{2}}{z-3}+\bruch{\bruch{-3}{2}}{z-1}[/mm]
>
[mm]f\left(z\right)[/mm] hat die Partialbruchzerlegung
[mm]f\left(z\right)=\bruch{A}{z+3}+\bruch{B}{z+1}[/mm]
> Dann die geometrische Reihe verwendet:
>
> [mm]f(z)=\bruch{5}{2}*\bruch{-1}{3}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{3}}+\bruch{-3}{2}*\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}=[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{-3}{2}*(\bruch{1}{z})^{n+1}+\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{-5}{2}*(\bruch{1}{3})^{n+1}*z^n=[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=-1}^{-\infty} \bruch{-3}{2}*z^n+\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{-5}{2}*(\bruch{1}{3})^{n+1}*z^n[/mm]
>
> Der erster Summand ist Hauptteil und der Zweite Nebenteil
> der Laurentreihe.
>
> Soweit ok. Ich weiß nur nicht genau, um welchen Punkt muss
> man die Entwicklung machen? Ich denke um Punkt null, da der
> Kreisring alle |z| zwischen 1 und 3 enthält. Also werde ich
> in der Skizze 2 Kreise um Punkt null haben. Mit R1=1 und
> R2=3.
Ja, das ist richtig.
>
> Ist das richtig? Muss man um die Nulsstellen vom Nenner 1
> und 3 auch die Entwicklung machen oder laut der
> Aufgabestellung ist das nicht nötig?
Das ist laut Aufgabenstellung nicht nötig.
>
> Grüße
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 So 14.06.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Ja, ich habe mich mit dem Vorzeichnen vertan. Das richtige Ergebnis ist also:
[mm] \summe_{i=-1}^{-\infty} \bruch{(-1)^n}{2}*z^n+\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2}*(\bruch{1}{3})^{n+1}*z^n
[/mm]
herzlichen Dank!
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