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Hallo!
Stehe vor einem kleinen (für mich etwas größeren) Problem:
Habe auf der Uni folgende Aufgabenstellung zum Thema Funktionentheorie erhalten:
Bestimmen Sie die Bilder f(g) aller durch den Ursprung gehenden Geraden g unter der Funktion
[mm] {f(z)}=z-\bruch{1}{z}
[/mm]
Ich wäre für jede Hilfe dankbar da ich auf diesem Gebiet noch ein absoluter Neuling bin.
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Mo 07.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo vengeta
Ich würde so vorgehen: Eine Gerade durch den Ursprung in der xy-Ebene kann man durch folgende
Parameterdarstellung erhalten: x(t)=t, y(t)=kt (k ist die Steigung). Die y-Achse ist ein Spezialfall, denn kannst du selber ausprobieren.
Dann enspricht $z=x+iy=t+ikt$. Dann setzt du diese z in die Funktion f(z) und rechnest Realteil Re(f(z)) und Imaginärteil Im(f(z)) aus.
Auf diese Art erhälst du eine Parameterdarstellung der Bildkurve mit Parameter t:
X(t)=Re(f(t+ikt))
Y(t)=Im(f(t+ikt))
Um zu einer Koordinatengleichung zu gelangen, musst du einfach den Parameter t aus dieser Darstellung eliminieren.
P.S
Habe gerade gemerkt, dass das eine wilde Rechnerei gibt. Vielleicht hat jemand eine bessere Idee.
mfG Moudi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:54 Di 08.03.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo vengeta020,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Stehe vor einem kleinen (für mich etwas größeren)
> Problem:
>
> Habe auf der Uni folgende Aufgabenstellung zum Thema
> Funktionentheorie erhalten:
>
> Bestimmen Sie die Bilder f(g) aller durch den Ursprung
> gehenden Geraden g unter der Funktion
>
> [mm]{f(z)}=z-\bruch{1}{z}
[/mm]
>
> Ich wäre für jede Hilfe dankbar da ich auf diesem Gebiet
> noch ein absoluter Neuling bin.
Ich habe auch ein wenig rumprobiert, es kommt scheinbar tatsächlich nichts interessantes dabei heraus.
Hier meine Rechnung:
Zunächst einmal schreibe ich f als: [mm] $f(z)=z-\bruch{1}{z}=z-\bruch{\overline{z}}{z\overline{z}}=z-\bruch{\overline{z}}{|z|^2}$
[/mm]
Eine Ursprungsgerade läßt sich darstellen als $g:\ [mm] \IR\to\IC$, $t\mapsto [/mm] t*w$ mit [mm] $w=a+b*i\in\IC$ [/mm] und $|w|=1$ (also [mm] $a^2+b^2=1$).
[/mm]
Das Bild dieser Geraden durch Einsetzen ermittelt:
[mm] $f(t*w)=t*w-\bruch{\overline{t*w}}{t^2}=t*w-\bruch{\overline{w}}{t}$
[/mm]
[mm] $=ta+tbi-\bruch{a-bi}{t}$
[/mm]
[mm] $=ta+tbi-\bruch{a}{t}+\bruch{bi}{t}$
[/mm]
[mm] $=a*\left(t-\bruch{1}{t}\right)+b*\left(t+\bruch{1}{t}\right)*i$
[/mm]
Interessant sind hier vielleicht die Grenzwerte
[mm] $\limes_{t\to \pm\infty} \bruch{f(t*w)}{t*w}=\ldots=1$
[/mm]
das bedeutet, dass $t*w$ so etwas wie eine Asymptote ist.
Interessant wäre dann noch zu untersuchen, was nahe der 0 passiert. Dort ist f natürlich nicht stetig.
Ich vermute, dass man f aber stetig fortsetzen kann auf
[mm] $\widehat{\IC}:=\IC\cup\{\infty\}$:
[/mm]
durch
[mm] $\widehat{f}:\ \widehat{\IC}\to\widehat{\IC}$, $\widehat{f}(0):=\infty$, $\widehat{f}(\infty):=\infty$, $\widehat{f}(z):=f(z)$ [/mm] sonst
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Di 08.03.2005 | | Autor: | vengeta020 |
Vielen Dank für eure Hilfe!
Die hat mich um eineiges weitergebracht!
mfg
vengeta
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