Funktionenschar ln-Umformung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Mo 02.03.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Berechne die Nullstellen der Funktionenschar
[mm] f_k(x) [/mm] = x - [mm] k*e^x
[/mm]
mit [mm] k\ne [/mm] 0.
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Moin!
Hier habe ich ein Umformungsproblem.
0 = x - [mm] k*e^x [/mm]
[mm] k*e^x [/mm] = x | ln
x + ln(k) = ln(x)
Aber wie geht's jetzt weiter???
Gruß
Wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Mo 02.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Berechne die Nullstellen der Funktionenschar
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> [mm]f_k(x)[/mm] = x - [mm]k*e^x[/mm]
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> mit [mm]k\ne[/mm] 0.
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> Moin!
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> Hier habe ich ein Umformungsproblem.
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> 0 = x - [mm]k*e^x[/mm]
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> [mm]k*e^x[/mm] = x | ln
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> x + ln(k) = ln(x)
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> Aber wie geht's jetzt weiter???
Gar nicht. Die Gleichung 0 = x - [mm]k*e^x[/mm] lässt sich nicht nach x umstellen, sondern für in gegebenes k nur näherungsweise (Newton-Verfahren o.ä.) lösen.
Es lassen sich (auch mit numerischen Mitteln) höchstens noch Aussagen treffen, für welche k die Gleichung [mm]k*e^x[/mm] = x keine, eine bzw. 2 Lösungen hat.
(Für k=1 schneiden sich z.B. die Graphen von y=x und [mm] y=e^x [/mm] NICHT.)
Gruß Abakus
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> Gruß
> Wolfgang
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Hallo Wolfgang,
abakus hat natürlich Recht, aber über die Existenz und Zahl von Nullstellen lässt sich folgendes leicht ermitteln:
für [mm] k>\bruch{1}{e}\approx0,367879 [/mm] hat die Funktion keine Nullstelle.
für [mm] k=\bruch{1}{e} [/mm] hat die Funktion eine Nullstelle bei x=1.
für [mm] 0
Für [mm] k=ae^{-a},\quad a\in\IR^+\setminus\{0\} [/mm] ist [mm] x_N=a [/mm] eine Nullstelle.
Das Maximum liegt bei [mm] x_{max}=a-\ln{a}.
[/mm]
Für die andere Nullstelle habe ich im Moment keine Idee...
Jeder so definierte Wert für k lässt sich aus zwei verschiedenen
a darstellen, wobei eines im Intervall [mm] \a{}(0,1) [/mm] und das andere
im Intervall [mm] (1,\infty) [/mm] liegt.
für k<0 hat die Funktion eine Nullstelle. In diesem Fall gilt:
Für [mm] k=-ae^a,\quad a\in\IR^+\setminus\{0\} [/mm] ist [mm] x_N=-a [/mm] die Nullstelle.
Schau doch mal, ob Du nicht auch die zweite Nullstelle für den Fall [mm] 0
Grüße
reverend
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