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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Di 23.02.2010 | | Autor: | Flo18 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Funktionenschar fk mit [mm] fk(x)=x^{3}-k*x. [/mm]
(4) Genauere Untersuchung der charakteristischen Punkte
Nullstellen
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Da dies eine Beispielaufgabe ist, sind die Lösungswege angegeben, aber ich komme trotzdem nicht damit klar.
Es wird behauptet, dass die Nullstelle (0/0) sei. Soweit klar.
Aber für alle k>0 soll es zwei weitere Nullstellen [mm] \wurzel{k}, -\wurzel{k} [/mm] geben. Das verstehe ich nicht!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Flo18 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Untersuchen Sie die Funktionenschar fk mit [mm]fk(x)=x^{3}-k*x.[/mm]
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> (4) Genauere Untersuchung der charakteristischen Punkte
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> Nullstellen
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> Da dies eine Beispielaufgabe ist, sind die Lösungswege
> angegeben, aber ich komme trotzdem nicht damit klar.
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> Es wird behauptet, dass die Nullstelle (0/0) sei. Soweit
> klar.
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> Aber für alle k>0 soll es zwei weitere Nullstellen
> [mm]\wurzel{k}, -\wurzel{k}[/mm] geben. Das verstehe ich nicht!
Na, du hast ja zu lösen: [mm] $f_k(x)=0$
[/mm]
Also [mm] $x^3-k\cdot{}x=0$
[/mm]
$x$ ausklammern:
[mm] $\gdw x\cdot{}(x^2-k)=0$
[/mm]
Nun weißt du sicher, dass ein Produkt genau dann =0 ist, wenn (mindestes) einer der Faktoren =0 ist
Also [mm] $\gdw [/mm] x=0 \ [mm] \text{oder} [/mm] \ [mm] x^2-k=0$
[/mm]
$x=0$ hast du schon, bleibt:
[mm] $x^2-k=0 [/mm] \ \ [mm] \mid [/mm] +k$
[mm] $\gdw x^2=k$
[/mm]
Und das hat genau für $k>0$ die beiden Lösungen [mm] $x_{1,2}=\pm\sqrt{k}$
[/mm]
Für $k<0$ gibts keine Lösung, ein Quadrat [mm] $\left(x^2\right)$ [/mm] ist ja immer [mm] $\ge [/mm] 0$
Und für $k=0$ steht da [mm] $x^2=0$, [/mm] also $x=0$, das gabs schon.
Im Falle $k=0$ lautet die Funkton ja auch [mm] $f_0(x)=x^3-0\cdot{}x=x^3$
[/mm]
Und hier ist $x=0$ offensichtlich 3-fache NST
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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LG
schachuzipus
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