Funktionenfolge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Fr 14.10.2011 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Es sei [mm] {f_k} [/mm] eine Folge von Funktionen in [mm] \mathcal{C}_c(\IR^n), [/mm] sodass [mm] f_k(x)=0 [/mm] für x mit ||x||>1. Wir nehmen an, dass die Funktionenfolge punktweise gegen f [mm] \in \mathcal{C}_c(\IR^n) [/mm] konvergiert, d.h. für jedes x [mm] \in \IR^n [/mm] gilt: [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} f_k(x)= [/mm] f(x). Folgt daraus, dass
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{\IR^n}^{}{f_k dx}=\integral_{\IR}^{}{f dx}
[/mm]
Beweisen oder widerlegen Sie. |
Hallo zusammen,
ich versuche grade diese Aufgabe zu bearbeiten, aber ich weiß schon gar nicht wie ich hier anfangen soll!!!
Also [mm] \mathcal{C}_c(\IR^n)= [/mm] der Vektorraum aller stetigen Funktionen [mm] f:\IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit kompaktem Träger.
Ein kompakter Träger einer Funktion [mm] f:\IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm] ist definiert als Supp(f)={x [mm] \in \IR^n [/mm] | f(x) [mm] \not= [/mm] 0}
wenn [mm] f_k [/mm] punktweise gegen f konvergiert dann gilt:
[mm] \forall \IR^n \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \mathcal{N} \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge \mathcal{N} |f(x)-f_k(x)| <\varepsilon
[/mm]
nur ich weiß jetzt nicht mal ob diese aussage überhaupt stimmen kann oder nicht! kann mir vllt jemand ein bisschen helfen und mir erklären wie ich an die aufgabe rangehen muss?
Danke!
Gruß,
peeetaaa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Sa 15.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch erst mal auf, was es bedeutet, dass der GW [mm] \int [/mm] fdx ist, mit zu jedem /epsilon existiert ein k usw. dann benutze die punktweise Konvergenz.
und den kompakten Träger hier [-1,+1]
gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Sa 15.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]{f_k}[/mm] eine Folge von Funktionen in
> [mm]\mathcal{C}_c(\IR^n),[/mm] sodass [mm]f_k(x)=0[/mm] für x mit ||x||>1.
> Wir nehmen an, dass die Funktionenfolge punktweise gegen f
> [mm]\in \mathcal{C}_c(\IR^n)[/mm] konvergiert, d.h. für jedes x [mm]\in \IR^n[/mm]
> gilt: [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} f_k(x)=[/mm] f(x). Folgt
> daraus, dass
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{\IR^n}^{}{f_k dx}=\integral_{\IR}^{}{f dx}[/mm]
>
> Beweisen oder widerlegen Sie.
> Hallo zusammen,
>
> ich versuche grade diese Aufgabe zu bearbeiten, aber ich
> weiß schon gar nicht wie ich hier anfangen soll!!!
> Also [mm]\mathcal{C}_c(\IR^n)=[/mm] der Vektorraum aller stetigen
> Funktionen [mm]f:\IR^n[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit kompaktem Träger.
> Ein kompakter Träger einer Funktion [mm]f:\IR^n[/mm] -> [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist
> definiert als Supp(f)={x [mm]\in \IR^n[/mm] | f(x) [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0}
>
> wenn [mm]f_k[/mm] punktweise gegen f konvergiert dann gilt:
> [mm]\forall \IR^n \forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists \mathcal{N} \in \IN \forall[/mm]
> n [mm]\ge \mathcal{N} |f(x)-f_k(x)| <\varepsilon[/mm]
>
> nur ich weiß jetzt nicht mal ob diese aussage überhaupt
> stimmen kann oder nicht!
Komisch ? Dass [mm] (f_k) [/mm] punktweise gegen f konv. ist doch vorausgesetzt.
Die Aussage
$ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{\IR^n}^{}{f_k dx}=\integral_{\IR^n}^{}{f dx} [/mm] $
ist im allgemeinen falsch !
Suche also ein Gegenbeispiel
FRED
> kann mir vllt jemand ein bisschen
> helfen und mir erklären wie ich an die aufgabe rangehen
> muss?
> Danke!
>
> Gruß,
> peeetaaa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Sa 15.10.2011 | | Autor: | peeetaaa |
Hey ,danke schonmal für deine Antwort!
Aber sag mal, wie kommste denn so schnell dadrauf, dass die Aussage nicht stimmt! Kannste mir vllt kurz erklären wie man das erkennt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Sa 15.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hey ,danke schonmal für deine Antwort!
> Aber sag mal, wie kommste denn so schnell dadrauf, dass
> die Aussage nicht stimmt!
Erfahrung.
> Kannste mir vllt kurz erklären
> wie man das erkennt?
Für k [mm] \in \IN [/mm] zeichne das Dreieck mit den Ecken (0|0), (1/k|0) und (1/(2k)|k). Dieses Dreieck spiegele an der y-Achse.
Ist Dir klar wie Du die Folge [mm] (f_k) [/mm] aus $ [mm] \mathcal{C}_c(\IR), [/mm] $ definieren mußt ?
FRED
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