Funktionen mit mehrerer Var. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:45 Mi 01.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Funktion f auf lokale Extremwerte in [mm] R^2
[/mm]
f(x,y)= [mm] 8x^3-6x^2y-3y^2+18y-17 [/mm] |
Hallo,
das Prinzip ist mir klar, nur ich habe ein Problem bei der Nullstellen bestimmung von
fx(x,y) und fy(x,y) die Abgeleiteten Funktionen lauten folgendermaßen:
fx(x,y)=12x(2x-y)
[mm] fy(x,y)=-6(y+x^2-3)
[/mm]
Wie kann ich da am besten die Nullstellen bestimmen? Nach meiner aktuellen erkenntnis müsten es unendlich viele geben ... nämlich immer wenn der Klammer Ausdruck bei fy(x,y) gleich 3 ergibt und das kann bei mehreren belibigen kombinationen von y und x der Fall sein.
Gruß und danke für die Mühe vorab.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast die Gleichungen
[mm] f_x(x,y)=12x(2x-y)= [/mm] 0
$ [mm] f_y(x,y)=-6(y+x^2-3)= [/mm] 0 $
Fall 1: x= 0. Aus der 2.Gl. folgt dann: y = 3
Fall 2: x [mm] \not= [/mm] 0. Aus der 1.Gl. erhälst Du: y = 2x. Setze dies in die2. Gl. ein
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Mi 01.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Ich habe beide Gleichungen nun 0 gestzt und jeweils nach y aufgelöst mit folgenden Ergebnissen:
fx(x,y): y=2x
Kann ich die Lösung der Nullstellen dann folgendermaßen schreiben?
n1=(n,2n) n [mm] \in \IR
[/mm]
fy(x,y): [mm] y=3-x^2
[/mm]
Hier Analog?
[mm] n2=(n,3-n^2) [/mm] n [mm] \in \IR
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe beide Gleichungen nun 0 gestzt und jeweils nach y
> aufgelöst mit folgenden Ergebnissen:
> fx(x,y): y=2x
> Kann ich die Lösung der Nullstellen dann folgendermaßen
> schreiben?
> n1=(n,2n) n [mm]\in \IR[/mm]
>
> fy(x,y): [mm]y=3-x^2[/mm]
> Hier Analog?
> [mm]n2=(n,3-n^2)[/mm] n [mm]\in \IR[/mm]
So geht das nicht. Warum machst Du es nicht so, wie ich es vorgeschlagen habe ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:16 Mi 01.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Weil ich die Antwort nicht auf anhieb verstanden habe, da bei keine beschreibung stand, habe mitlerweile diese Methode angewandt und durchgerechnet. siehe Frage 2
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Mi 01.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Ich glaube jetzt habe ich verstanden was du meintest:
fx(x,y)=12x(2x-y)= 0
Fall1, x= 0
y=0
Fall2 x [mm] \not= [/mm] 0
x=0
[mm] \Rightarrow [/mm] a1=(0,0)
[mm] fx(x,y)=-6(y+x^2-3)= [/mm] 0
Fall1, x= 0
y=3
Fall2 x [mm] \not= [/mm] 0
x=0
[mm] \Rightarrow [/mm] a1=(0,3)
Sind das nun alle nötigen lösungen? Da ich immernoch der Meinung bin, das mehrere Lösungen möglich wären.
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Hallo s3rial,
> Ich glaube jetzt habe ich verstanden was du meintest:
Das sieht nicht so aus, sorry ...
>
> fx(x,y)=12x(2x-y)= 0
>
> Fall1, x= 0
> y=0
Für $x=y=0$ ist [mm] $f_y(x,y)=f_y(0,0)\neq [/mm] 0$, das stimmt also nicht!
>
> Fall2 x [mm]\not=[/mm] 0
> x=0
Was soll das denn sein $x$ gleichzeitig 0 und nicht 0 ????
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a1=(0,0)
>
>
> [mm]fx(x,y)=-6(y+x^2-3)=[/mm] 0
>
> Fall1, x= 0
> y=3
Das hat Fred ja schon vorgerechnet
>
> Fall2 x [mm]\not=[/mm] 0
> x=0
Das ist wieder Humbuk!
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a1=(0,3)
>
> Sind das nun alle nötigen lösungen? Da ich immernoch der
> Meinung bin, das mehrere Lösungen möglich wären.
Fred hat dir alles vorgerechnet, du nimmst aber keinen seiner Hinweise an, das ist schade ..
Es muss gelten [mm] $f_x(x,y)=0 [/mm] \ \ [mm] \text{UND} [/mm] \ \ [mm] f_y(x,y)=0$
[/mm]
Also $12x(2x-y)=0 \ \ [mm] \text{UND} [/mm] \ \ [mm] -6(y+x^2-3)=0$
[/mm]
Nun gilt ja generell, dass ein Produkt =0 ist, wenn einer der Faktoren =0 ist.
Für [mm] $f_x$ [/mm] bedeutet das, dass [mm] $f_x(x,y)=12x(2x-y)=0$ [/mm] ist, wenn $12x=0 \ \ [mm] \text{oder} [/mm] \ \ 2x-y=0$ ist
Also $x=0 \ \ [mm] \text{oder} [/mm] \ \ y=2x$
Für jeden der beiden möglichen Fälle, also $x=0 \ \ [mm] \text{oder} [/mm] \ \ y=2x$ muss gleichzeitig auch [mm] $f_y$ [/mm] Null sein
Du hast zum einen [mm] $\red{x=0}$, [/mm] das in [mm] $f_y$ [/mm] eingsetzt:
[mm] $f_y(\red{0},y)=-6(y+\red{0}^2-3)=0$, [/mm] also $-6(y-3)=0$, also $y=3$
Damit ist ein stat. Punkt $(x,y)=(0,3)$
Die andere Möglichkeit für [mm] $f_x(x,y)=0$ [/mm] ist (siehe oben) [mm] $\red{y=2x}$
[/mm]
Das wieder in [mm] $f_y$ [/mm] einsetzen:
[mm] $f_y(x,\red{2x})=-6(\red{2x}+x^2-3)=0$
[/mm]
Also [mm] $x^2+2x-3=0$, [/mm] also $x=...$
Mit diesen x-Werten und $y=2x$ berechne dann die zugeh. y-Werte.
Es gibt insgesamt 3 stat. Punkte ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Mi 01.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Okay, super, danke für die detailierte antwort. Werde das gleich nochmal versuchen.
gruß
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mi 01.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
So ich habe es jetzt einmal komplett durchgerechnet und wollte noch kurz wissen ob das "Syntaktisch" korrekt ist:
fx(x,y)=fy(x,y)=0
fx(x,y)= wenn (x= 0) oder (y= 2x)
fy(0,y)= [mm] -6(y+0^2-3)= [/mm] 0
y-3 = 0
y=3
[mm] \Rightarrow [/mm] a1=(0,3)
fy(x,2x)= [mm] -6(2x+x^2-3)= [/mm] 0
[mm] x^2+2x-3=0
[/mm]
Quadratische Ergänzung
x1=1
x2=-3
[mm] \Rightarrow [/mm] a2=(0,1)
[mm] \Rightarrow [/mm] a3=(0,-3)
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Hallo nochmal,
> So ich habe es jetzt einmal komplett durchgerechnet und
> wollte noch kurz wissen ob das "Syntaktisch" korrekt ist:
>
> fx(x,y)=fy(x,y)=0
>
> fx(x,y)= wenn (x= 0) oder (y= 2x)
>
> fy(0,y)= [mm]-6(y+0^2-3)=[/mm] 0
> y-3 = 0
> y=3
> [mm]\Rightarrow[/mm] a1=(0,3) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> fy(x,2x)= [mm]-6(2x+x^2-3)=[/mm] 0
> [mm]x^2+2x-3=0[/mm]
> Quadratische Ergänzung
> x1=1
> x2=-3
> [mm]\Rightarrow[/mm] a2=(0,1) ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> [mm]\Rightarrow[/mm] a3=(0,-3)
Du hast 2 x-Werte ausgerechnet und stopfst sie als y-Werte in vermeintl. stat. Punkte, das kann doch nicht stimmen.
Ich hatte geschrieben, dass du aus den berechneten x-Werten aus der Bedingung $y=2x$ erst noch den jeweils zugeh. y-Wert berechnen sollst ...
Also flicke das noch eben bei ..
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mi 01.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
a2=(0,2)
a3=(0,-6)
Ich war vermutlich so begeistert von der antwort, dass ich das wohl überlesen habe ...
Tausend dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> a2=(0,2)
> a3=(0,-6)
Was soll das denn ???
Du hattest doch
[mm] x_1=1
[/mm]
[mm] x_2=-3
[/mm]
Damit erhälst Du:
(1|2) und (-3|-6)
FRED
>
> Ich war vermutlich so begeistert von der antwort, dass ich
> das wohl überlesen habe ...
>
> Tausend dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Mi 01.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Gut wurde das Missverständnis auch noch beseitigt, vielen dank!
Ihr habt mir echt geholfen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Mi 01.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
| Aufgabe | | [mm] f(x,y)=x^3y^2(1-x-y) [/mm] |
So nochmal für verständnis bei einer anderen Aufgabe:
[mm] fx(x,y)=x^2y^2(3-4x-3y)
[/mm]
[mm] fy(x,y)=yx^3(2-2x-3y)
[/mm]
Wie sieht das bei dieser Aufgabe aus? So wie ich das jetzt sehe können wir so schon die Nullstelle a1 bei (0,0) bilden.
Und darüber hinaus gibt es doch gar keinen Nenneswerten Nullstellen oder?
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Hallo nochmal,
> [mm]f(x,y)=x^3y^2(1-x-y)[/mm]
> So nochmal für verständnis bei einer anderen Aufgabe:
> [mm]fx(x,y)=x^2y^2(3-4x-3y)[/mm]
> [mm]fy(x,y)=yx^3(2-2x-3y)[/mm]
>
> Wie sieht das bei dieser Aufgabe aus? So wie ich das jetzt
> sehe können wir so schon die Nullstelle a1 bei (0,0)
> bilden.
> Und darüber hinaus gibt es doch gar keinen Nenneswerten Nullstellen oder?
Wie kommst du zu dem Schluss? Und v.a. was sind denn "nicht-nennenswerte" Nullstelle? Gibt's da Unterschiede?
[mm] $f_y(x,y)$ [/mm] wird doch zB. auch Null, wenn der Klammerausdruck =0 ist, das kannst du zB. nach $y$ auflösen und in [mm] $f_x$ [/mm] einsetzen.
Es ergeben sich außer (0,0) noch weitere stat. Punkte ...
Du musst mal das Gleichungssystem systematisch lösen ...
Mache das mal mit Rechenschritten ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Mi 01.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
ok,
werde erstmal essen gehen, danach werde ich das direkt in angriff nehmen, aber ja du hast recht.
Das habe ich ich jetzt vergessen.
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Hallo nochmal,
nur kurz nebenbei:
Man sieht direkt, dass $(0,y)$ mit [mm] $y\in\IR$ [/mm] beliebig und $(x,0)$ mit [mm] $x\in\IR$ [/mm] beliebig Lösungen von [mm] $f_x(x,y)=f_y(x,y)=0$ [/mm] sind.
Darunter fällt deine Lösung $(0,0)$ natürlich auch.
Soweit ich das auf die Schnelle sehe, gibt es neben diesen ganzen 2 weitere mit [mm] $x,y\neq [/mm] 0$
LG und guten Hunger
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Mi 01.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
[mm] fx(x,y)=x^2y^2(3-4x-3y) [/mm]
[mm] fy(x,y)=yx^3(2-2x-3y) [/mm]
Ich habe für: fx(0,y)=fx(0,y)=0 & für fy(0,y)=fy(0,y)=0 die Nullstellen in den Klammerausdrücken ausgerechnet, ich bin mir aber nicht sicher ob ich damit was erreicht habe:
fx(0,y)= (3-(4*0)-3y)=0, y=1
fx(x,0)= (3-4x-(3*0)), x= 3/4
fy(0,y)= (2-(2*0)-3y)=0, y=2/3
fy(x,0)= (2-2x-(3*0)), x= 1
Irgendwie glaube ich nicht das das so ok ist, wobei diese Ausdrücke so ebenfalls Null ergeben. Aber ich wüste jetzt auch nichtmal wie ich diese Werte zu Nullstellen für fx(x,y) und fy(x,y) zusammenfassen sollte...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]fx(x,y)=x^2y^2(3-4x-3y)[/mm]
> [mm]fy(x,y)=yx^3(2-2x-3y)[/mm]
>
> Ich habe für: fx(0,y)=fx(0,y)=0 & für fy(0,y)=fy(0,y)=0
> die Nullstellen in den Klammerausdrücken ausgerechnet, ich
> bin mir aber nicht sicher ob ich damit was erreicht habe:
>
> fx(0,y)= (3-(4*0)-3y)=0, y=1
> fx(x,0)= (3-4x-(3*0)), x= 3/4
>
> fy(0,y)= (2-(2*0)-3y)=0, y=2/3
> fy(x,0)= (2-2x-(3*0)), x= 1
>
> Irgendwie glaube ich nicht das das so ok ist, wobei diese
> Ausdrücke so ebenfalls Null ergeben. Aber ich wüste jetzt
> auch nichtmal wie ich diese Werte zu Nullstellen für
> fx(x,y) und fy(x,y) zusammenfassen sollte...
>
Fall 1: $ \ xy = 0$
Dann gilt [mm] $f_x(x,y) [/mm] = [mm] f_y(x,y) [/mm] = 0$
D.h.: es ist [mm] $f_x(x,y) [/mm] = [mm] f_y(x,y) [/mm] = 0$ für jedenPunkt (x,y) der auf der x_Achse oder auf der y_Achse liegt.
Fall 2 : $x*y [mm] \not= [/mm] 0$
Dann: [mm] $f_x(x,y) [/mm] = [mm] f_y(x,y) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] 4x+3y=3$ und $2x+3y=2$ [mm] \gdw [/mm] (x,y) = (1/2,1/3)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mi 01.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Könntest du mir mal detailiert sagen was da du machst, bzw. worauf es bei solchen Aufgaben ankommt, irgendwie denke ich die ganze Zeit, ich habs verstanden und beim nächsten Kommentar nicht mehr.
Gibt es da ein Schema was man druchziehen kann?
Ich weiß das beide Gleichungen mit den gleichen Werten für x und y gefüttert werden müssen und diese dann Null ergeben sollen.
Gibt es da ein patentiertes Verfahren wie PQ-Formel bzw. Quad-Ergänzung bei Funktionen einer Variablen?
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Hallo,
eigentlich bist du das Kochrezept schon ein paarmal durchgegangen und hast immer wieder Details dazu genannt bekommen.
Wenn man das zusammenschreibt, sieht es so aus:
Gegeben hast du eine reellwertige Funktion f(x,y) (oder auch noch mehr Variable).
1. Schritt: Partielle Ableitungen [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] (oder noch mehr) bestimmen.
2. Schritt: Das Gleichungssystem [mm] \vmat{ f_x (x,y) = 0 \\ f_y(x,y)=0 } [/mm] lösen.
Das ist alles.
Jetzt ist es im Normalfall kein lineares Gleichungssystem, wie man es so oft löst und wo man Gauß-Verfahren oder ähnliches benutzt, sondern ein System, bei dem man ein wenig seinen mathematischen Sachverstand einsetzen kann.
Was dabei häufiger zum Ziel führt:
1. Man kann ein Produkt bilden, und über den berühmten Satz "Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mind. einer der Faktoren 0 ist" verschiedene einfache Fälle abarbeiten (wie in deinem ersten Beispiel). Bei Aufgaben in der Schule wirst du damit sehr oft zum Ziel kommen.
2. Du kannst eine der beiden Gleichungen leicht nach x bzw. y auflösen und das in die andere Gleichung einsetzen.
Du musst also zwei Sachen können:
1. Ableiten
2. Gleichungssysteme lösen
Mehr ist das nicht. Die meisten Tipps ranken sich also um das geschickte Lösen des Gleichungssystems, wofür es eben kein Patentrezept gibt.
[mm] \vmat{ x^2+y^2 = 0 \\ x - y =0 } [/mm] löst man sicher anders als [mm] \vmat{ (x-3)*(y+4) = 0 \\ x^3*y^2-4xy+3 =0 }
[/mm]
Gruß,
weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Mi 01.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
So, ich habe jetzt die beiden Gleichungen 4x+3y=3 und 2x+3y=2 einmal nach x und einmal nach y aufgelöst und dann in die jeweilige andere Gleichung eingestzet, damit komme ich auf das Ergebnis was du mir gesagt hast.
Wie kann ich damit weiter arbeiten, ich meine, für den ersten Fall haben wir doch eigentlich unendliche viele Lösungen?
Klappt das immer mit der 1Fall, 2Fall betrachtung?
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