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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Gero |
| Aufgabe | Sei f: K [mm] \to \IR [/mm] stetige Funktion auf einem kompakten metrischen Raum (K,d).
z.z.: Es gibt [mm] x_{min}, x_{max} \in [/mm] K mit [mm] f(x_{min}) \le [/mm] f(x) [mm] \le f(x_{max}) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] K. |
Hallöle an alle,
hab hier fast ne Lösung dazu. Mir fehlt noch der Schluß im 1. Teil. Vielleicht kann sich ja mal jemand den Beweis anschauen und mir sagen, ob dies so stimmt. Also:
1. Zuerst beweise ich, dass f(K) beschrämkt.
Angenommen f(K) nicht beschränkt [mm] \Rightarrow \exists x_n \in [/mm] K mit [mm] f(x_n) \to \infty.
[/mm]
Da K kompakt [mm] \Rightarrow \exists [/mm] Teilfolge [mm] x_n_k \to x_n [/mm] für k [mm] \to \infty.
[/mm]
Da f stetig [mm] \Rightarrow f(x_n_k) \to f(x_n)
[/mm]
Da weiß ich jetzt nicht weiter. Sollte natürlich Richtung Widerspruch laufen.
2. f(K) beschränkt [mm] \Rightarrow \exists [/mm] sup [mm] \{f(x):x \in K \} [/mm] =:a
[mm] \Rightarrow \exists (x_n)_{n \in \IN} \in [/mm] K mit [mm] f(x_n) [/mm] \ to a
Da K kompakt [mm] \Rightarrow \exists [/mm] Teilfolge [mm] x_n_k \to [/mm] z [mm] \in [/mm] K
Da f stetig [mm] \Rightarrow f(x_n_k) \to [/mm] f(z)
Da [mm] f(x_n_k) \to [/mm] a [mm] \Rightarrow [/mm] a = f(z) = max f(x) = [mm] x_{max}
[/mm]
3. f(K) beschränkt [mm] \Rightarrow \exists [/mm] inf [mm] \{f(x):x \in K \} [/mm] =:b
[mm] \Rightarrow \exists (x_n)_{n \in \IN} \in [/mm] K mit [mm] f(x_n) [/mm] \ to b
Da K kompakt [mm] \Rightarrow \exists [/mm] Teilfolge [mm] x_n_k \to [/mm] d [mm] \in [/mm] K
Da f stetig [mm] \Rightarrow f(x_n_k) \to [/mm] f(d)
Da [mm] f(x_n_k) \to [/mm] a [mm] \Rightarrow [/mm] b = f(d) = min f(x) = [mm] x_{min}
[/mm]
Kann man das so machen?
Danke für eure Antwort schonmal im voraus!
Liebe Grüße
Gero
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Leto |
Hallo Gero!
Ich denke, mit 2. und 3. hast du recht.
> 1. Zuerst beweise ich, dass f(K) beschrämkt.
> Angenommen f(K) nicht beschränkt [mm]\Rightarrow \exists x_n \in[/mm]
> K mit [mm]f(x_n) \to \infty.[/mm]
> Da K kompakt [mm]\Rightarrow \exists[/mm]
> Teilfolge [mm]x_n_k \to x_n[/mm] für k [mm]\to \infty.[/mm]
> Da f stetig
> [mm]\Rightarrow f(x_n_k) \to f(x_n)[/mm]
>
> Da weiß ich jetzt nicht weiter. Sollte natürlich Richtung
> Widerspruch laufen.
Den ersten Teil würde ich jedoch nicht mit Widerspruch beweisen, sondern ausnutzen, dass stetige Funktionen mit der Limesbildung "vertauschen", mit anderen Worten gilt:
[mm]\limes_{k\to\infty} f\left(x_{n_k}\right) = f\left(\limes_{k\to\infty}x_{n_k}\right)[/mm]. Dann bist du schon fast fertig.
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Liebe Grüße, Markus.
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