Funktionen auf obere Halbebene < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Mo 23.04.2007 | | Autor: | puq |
Hallo,
gibt es auf der oberen Halbebene nicht-konstante beschränkte analytische Funktionen?
Und auf der Siegelschen Halbebene?
Ich glaube nicht, aber warum?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Di 24.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
ja die gibt es. Am besten siehst Du das, indem Du die obere Halbebene mittels Cayley-Transformation
[mm] z\mapsto \frac{z-i}{z+i}
[/mm]
auf die offene Einheitskreisscheibe abbildest und dann einfach eine holomorphe Funktion (zum Beispiel einfach $z [mm] \mapsto [/mm] z$) nachschaltest. Insbesondere ist die Cayley-Transformation selbst eine beschränkte holomorphe Funktion auf der oberen Halbebene. Für die Siegelsche obere Halbebene oder allgemeiner jede unbeschrämkte Realisierung eines beschränkten Gebiets gibt es auch eine Cayley-Transformation und es gilt dasselbe Resultat.
Volker
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