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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 So 21.06.2009 | | Autor: | idonnow |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: [mm] \IR \to \IR, f(x)=f(n)=\left\{\begin{matrix}
sin \bruch{1}{x}, & \mbox{für}x \not=0 \mbox{} \\
0, & \mbox{für}x = 0 \mbox{ }
\end{matrix}\right. [/mm]
a) Zeigen Sie, dass f bei x=0 unstetig ist. Hinweis: Lösen Sie erst den folgenden Punkt
b) Betrachten Sie die Folgen{xn}n=1 [mm] \infty [/mm] mit xn= [mm] \bruch{1}{a+2 \pi n} [/mm] für beliebige a E [- [mm] \pi, \pi]. [/mm] Berechnen Sie [mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] f [mm] x_n. [/mm] |
Hallo!
Ich weiß zwar was Stetigkeit bedeutet, aber ich verstehe den Aufgabenteil b gaaaaaaaaaaaaar nicht. Ich verstehe nicht, was ich machen soll und was diese xn-Definition aussagt.
Vieln Dank
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Guten Abend,
ihr hattet bestimmt einen Satz, der ungefähr folgendes aussagt:
f ist stetig in [mm] $x_0$ \gdw [/mm] Für jede Folge mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] gilt [mm] $f(x_n) \to f(x_0)$ [/mm] für $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
D.h. andersherum: Findest du 2 Folgen, die beide gegen Null gehen (bzw beide gegen die gleiche Zahl, hier bieten sich aber Nullfolgen an!), aber die dazugehören Folgen von Funktionswerten [mm] $f(x_n)$ [/mm] gegen 2 unterschiedliche Zahlen konvergieren, dann muss die Funktion unstetig in [mm] $x_0$ [/mm] sein.
Das solltest du dir, falls es dir noch nicht klar ist, klar machen (Prinzip der Kontrapunktion - Klingt jetzt sehr hochtrabend, isses aber absolut nicht!).
Zur b). Die Teilaufgabe b soll ich dich ein wenig in die richtige Richtung für die Teilaufgabe a) rücken. Setzte die Folge einfach ma ein, und bedenke, dass der Sinus [mm] $2\pi$-periodisch [/mm] ist!
lg Kai
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