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| Aufgabe | | Ich soll zeigen, das jede Funktion f: D -> R sich schreiben lässt als f(x) = g(x) + u(x). Wobei g gerade und u ungerade ist. |
Hallo miteinander,
leider weiß ich nicht so recht wie ich die Aufgabe angehen soll, für ein paar hilfreiche Tipps, wäre ich sehr dankbar.
Vielen Dank =)
MfG
Timberbell
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Kennst du den Sinus hyperbolicus [mm]u(x) = \sinh x[/mm] und den Cosinus hyperbolicus [mm]g(x) = \cosh x[/mm]? Die eine Funktion ist ungerade, die andere gerade. Und ihre Summe ist die Exponentialfunktion [mm]f(x) = \operatorname{e}^x[/mm]:
(I) [mm]f(x) = u(x) + g(x)[/mm]
Jetzt schau einmal, wie [mm]u(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] mit Hilfe von [mm]f(x)[/mm] definiert sind und ahme dieses Konstruktionsprinzip für die allgemeine Lösung des Problems nach.
Alternativ kannst du auch in der Gleichung (I) [mm]x[/mm] durch [mm]-x[/mm] ersetzen und die Ungeradheit bzw. Geradheit von [mm]u(x)[/mm] bzw. [mm]g(x)[/mm] ausnutzen, um eine Gleichung (II) mit [mm]u(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] zu erhalten. Die Gleichungen (I),(II) bilden dann ein lineares Gleichungssystem in [mm]u(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm], das sich leicht lösen läßt.
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