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| Aufgabe | Man bestimme alle Polynome P(x) mit reellen Koeffizienten, so dass für alle reellen Zahlen x gilt:
[mm] (x+1)^3*P(x-1)-(x-1)^3*P(x+1)=4*(x^2-1)*P(x) [/mm] |
Könnt ihr Überprüfen, ob mein Ansatz stimmt???
1. Es gilt P(0) = 0 (nach einsetzen der Werte x = 1 und x=0 und x =-1
2. P(x) = x *Q(x) mit Grad Q(x) = Grad P(x) - 1
3. Für alle x gilt
[mm] (x+1)^3*P(x-1)-(x-1)^3*P(x+1)=4*(x^2-1)*P(x) [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (x+1)^3*(x-1)*Q(x-1)-(x-1)^3*(x+1)*Q(x+1)=4*(x^2-1)*x*Q(x)
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (x^2-1)*[(x+1)^2*Q(x-1)-(x-1)^2*Q(x+1)-4*x*Q(x)]=0
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (x+1)^2*Q(x-1)-(x-1)^2*Q(x+1)=4*x*Q(x)
[/mm]
Sei nun
[mm] Q(x)=a_n*x^n [/mm] + [mm] a_{n-1}*x^{n-1}...a_0
[/mm]
[mm] x^2(Q(x-1)-Q(x+1))+2*x(Q(x-1)+Q(x+1))+(Q(x-1)-Q(x+1))=4xQ(x) [/mm] (*)
Es gilt nun
Q(x-1) = [mm] a_n*x^n [/mm] - [mm] (na_n [/mm] - [mm] a_{n-1})x^{n-1}+R_{n-2}(x) [/mm] und
Q(x+1) = [mm] a_n*x^n [/mm] - [mm] (na_n [/mm] + [mm] a_{n-1})x^{n-1}+R1_{n-2}(x)
[/mm]
also ist
Q(x-1) - Q(x+1) = [mm] -2na_n*x^{n-1} [/mm] + [mm] T_{n-2}(x) [/mm] und
Q(x-1) + Q(x+1) = [mm] 2a_n*x^n [/mm] + [mm] T1_{n-2}(x)
[/mm]
mithin
[mm] x^2(Q(x-1) [/mm] - Q(x+1)) = [mm] -2na_n*x^{n+1} [/mm] + [mm] T_n(x)
[/mm]
2x(Q(x-1) + Q(x+1)) = [mm] 4a_n*x^{n+1} [/mm] + [mm] 2*T1_{n-1}(x)
[/mm]
Betrachte nun die höchste auftretende Potenz in (*)
[mm] -2na_n*x^{n+1} [/mm] + 4 [mm] a_n*x^{n+1} +H_n(x)= [/mm] 4 [mm] a_n*x^{n+1} [/mm] + [mm] H1_n(x)
[/mm]
also ist
[mm] -2na_n*x^{n+1} [/mm] + 4 [mm] a_n*x^{n+1} [/mm] = 4 [mm] a_n*x^{n+1}
[/mm]
bzw.
[mm] -2na_n*x^{n+1}=0
[/mm]
also ist n = 0 und Q(x) = k und damit P(x) = kx
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[www.matheplanet.de]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 02.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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