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Funktion linear oder nicht: Zeigen oder widerlegen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:29 So 15.12.2013
Autor: IljaShk

Aufgabe
Zeigen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Funktionen linear sind:

Hallo,
ich weiß grad nicht weiter. Und zwar soll ich zu folgenden Funktionen sagen, ob sie linear sind oder nicht:
a) f: R -> R, x -> x+10
b) f:R -> R, x -> [mm] -x^2 [/mm] +10
c) f:R -> R, x -> -2x
d) f:R -> R, x -> x(x+1)(x-1)
e) f:R -> R, x -> (x-1)(x+3) - [mm] x^2 [/mm]

Das heißt doch, dass nur jedem Y-Wert ein X-Wert zugeschrieben wird? Außerdem hab ich gehört, dass das Verhältnis zwischen dem Wert von X und Y immer gleich bleiben muss...
Irgendwie bin ich total durcheinander und weiß nicht weiter...
Wenn mir jemand helfen kann, vielen Dank im Voraus!! :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Funktion linear oder nicht: Definition
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 So 15.12.2013
Autor: Loddar

Hallo IljaShk,

[willkommenmr] !!


Eine Abbildung $f_$ heißt linear (siehe auch []hier), wenn gilt:

$f(a*x) \ = \ a*f(x)$

sowie

$f(x+y) \ = \ f(x)+f(y)$


Wende das auf die gegebenen Abbildungen / Funktionsvorschriften an.


Exemplarisch zu Aufgabe a.)

$f(a*x) \ = \ a*x+10 \ [mm] \not= [/mm] \ a*(x+10) \ = \ a*f(x)$

$f(x+y) \ = \ x+y+10 \ [mm] \not= [/mm] \ x+y+20 \ = \ (x+10)+y+10) \ = \ f(x)+f(y)$

Diese Funktion ist also nicht linear.


Gruß
Loddar
Bezug
                
Bezug
Funktion linear oder nicht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 So 15.12.2013
Autor: Sax

Hi,

hier dürfte allerdings eher eine Definition gemeint sein, bei der (im Sinne von "kubischer Funktion", "quadratischer Funktion", "linearer Funktion") eine ganzrationale Funktion von höchstens erstem Grad als linear bezeichnet wird.

Gruß Sax.
Bezug
                        
Bezug
Funktion linear oder nicht: an der Uni?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:04 So 15.12.2013
Autor: Loddar

Hallo Sax!


Darüber habe ich auch kurz nachgedacht. Aber das passt m.E. nicht unbedingt zu einer Uni-Frage.


Gruß
Loddar
Bezug
                
Bezug
Funktion linear oder nicht: Gegenbeispiel
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:10 So 15.12.2013
Autor: Schadowmaster

Hey Loddar und [willkommenmr] IljaShk,

> $ [mm] f(a\cdot{}x) [/mm] \ = \ [mm] a\cdot{}x+10 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] a\cdot{}(x+10) [/mm] \ = \ [mm] a\cdot{}f(x) [/mm] $

Da das leider viel zu oft vergessen wird, vor allem von Unifrischlingen (zu IljaShk wink), wollt ich gern nochmal drauf hinweisen, dass hier ein explizites Gegenbeispiel sehr schön wäre.
Also etwa $x=1, a=0$. Dann ist $f(a*x) = f(0*1)=f(0)=0+10$ und $a*f(x) = 0*f(1) = 0*11 = 0$.
Und es gilt $10 [mm] \neq [/mm] 0$, zumindest über [mm] $\IR$. [/mm]

Ist in der Aufgabenstellung etwa $R$ ein beliebiger kommutativer Ring, so wird das Widerlegen deutlich schwerer; es werden sogar manche der Abbildungen ja nach Ring linear.


lg

Schadow
Bezug
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