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| Aufgabe | | Sei $f(t) := min [mm] \{t^T x : Ax = b , x\ge 0 \}$ [/mm] Zeigen sie durch geeignete Fallunterscheidung die Konkavität von f. (Hinweis: Ist f konkav, dann ist -f konvex) |
Hallo zusammen!
Also ich schildere erst einmal einen Fall, um zu prüfen ob das in ordnung geht. Zur Übersicht setzte ich
$Ax =b, [mm] x\ge [/mm] 0$ als $K$ .
Nun bedeutet Konkav, dass für bel. [mm] t_1 [/mm] , [mm] t_2 [/mm] gilt: [mm] (\lambda \in [/mm] [0,1])
[mm] $\lambda f(t_1) [/mm] + [mm] (1-\lambda) f(t_2) \le [/mm] f( [mm] \lambda t_1 [/mm] + (1- [mm] \lambda) t_2)$
[/mm]
Betrachten wir den fall, dass [mm] t_1 [/mm] sowie [mm] t_2 [/mm] größer gleich 0 sind:
$f( [mm] \lambda t_1 [/mm] + (1- [mm] \lambda) t_2)$
[/mm]
= $min [mm] \{(\lambda t_1 + (1- \lambda) t_2)^T x: K\}$
[/mm]
Aufgrund der Eigenschaft des Skalar müsste gelten:
= $min [mm] \{(\lambda t_1)^T x + ((1- \lambda) t_2)^T x: K\}$
[/mm]
Da [mm] t_1 [/mm] sowie [mm] t_2 [/mm] größer gleich 0 sind und der faktor davor auch gilt denke ich dass das
[mm] \ge [/mm] (ich denke sogar genau =) [mm] $min\{(\lambda t_1)^T x: K\}$ [/mm] + [mm] $min\{((1- \lambda) t_2)^T x: K\}$
[/mm]
Noch die Faktoren davor rausziehen da es konstanten sind und dann wars das. Ist der Fall so richtig? Folgen wohl noch [mm] t_1 [/mm] , [mm] t_2 [/mm] <0 sowie [mm] t_1 [/mm] < 0 < [mm] t_2 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] < 0 [mm]
Lieben Gruß,
Eve
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 28.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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