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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Mo 29.12.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob die Definitionslücken der folgenden Funktion stetig behhebbar sind, und erweitern Sie gegebenfalls den Defintionsbereich.
[mm] f(x)=\bruch{1+cos(x)}{sin(x)} [/mm] |
Also Defintionslücken sind ja x [mm] \in k*\pi [/mm] mit k [mm] \in \IZ...
[/mm]
Wie mache ich das jetzt, ohne dass ich unendlich viele Grenzwerte ausrechnen muss?
Für x=0:
linksseitiger Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0^{-}}f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+cos(0-\bruch{1}{n})}{sin(0-\bruch{1}{n})}=\bruch{2}{0}=\infty
[/mm]
(So hatten wir es in der Vorlesung, dass [mm] \bruch{a}{0} [/mm] mit [mm] a\in\IR\backslash0 =\infty [/mm] ist)
Dann muss ich den rechtsseitigen Grenzwert doch gar nicht mehr ausrechnen oder?
für [mm] x=\pi
[/mm]
linksseitiger Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\\pi^{-}}f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+cos(\pi-\bruch{1}{n})}{sin(\pi-\bruch{1}{n})}\underbrace{=}_{\bruch{0}{0}}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(1+cos(\pi-\bruch{1}{n}))*(1-cos(\pi-\bruch{1}{n}))}{(sin(\pi-\bruch{1}{n}))*(1-cos(\pi-\bruch{1}{n}))}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1-cos^2(\pi-\bruch{1}{n})}{(sin(\pi-\bruch{1}{n}))*(1-cos(\pi-\bruch{1}{n}))}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin^2(\pi-\bruch{1}{n})}{(sin(\pi-\bruch{1}{n}))*(1-cos(\pi-\bruch{1}{n}))}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin(\pi-\bruch{1}{n})}{(1-cos(\pi-\bruch{1}{n}))}
[/mm]
[mm] =\bruch{0}{2}=0
[/mm]
rechtsseitiger Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\\pi^{+}}f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+cos(\pi+\bruch{1}{n})}{sin(\pi+\bruch{1}{n})}\underbrace{=}_{\bruch{0}{0}}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(1+cos(\pi+\bruch{1}{n}))*(1-cos(\pi+\bruch{1}{n}))}{(sin(\pi+\bruch{1}{n}))*(1-cos(\pi+\bruch{1}{n}))}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1-cos^2(\pi+\bruch{1}{n})}{(sin(\pi+\bruch{1}{n}))*(1-cos(\pi+\bruch{1}{n}))}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin^2(\pi+\bruch{1}{n})}{(sin(\pi+\bruch{1}{n}))*(1-cos(\pi+\bruch{1}{n}))}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin(\pi+\bruch{1}{n})}{(1-cos(\pi+\bruch{1}{n}))}
[/mm]
[mm] =\bruch{0}{2}=0
[/mm]
Dann wäre die Definitionslücke [mm] x=\pi [/mm] ja stetig behhebbar, aber wie gehe ich jetzt mit den restlichen Definitionslücken vor [mm] (k*\pi) [/mm] ?
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Prüfen Sie, ob die Definitionslücken der folgenden Funktion
> stetig behhebbar sind, und erweitern Sie gegebenfalls den
> Defintionsbereich.
>
> [mm]f(x)=\bruch{1+cos(x)}{sin(x)}[/mm]
> Also Defintionslücken sind ja x [mm]\in k*\pi[/mm] mit k [mm]\in \IZ...[/mm]
>
> Wie mache ich das jetzt, ohne dass ich unendlich viele
> Grenzwerte ausrechnen muss?
Die Funktion [mm]f\left(x\right)[/mm] kannst Du mit Hilfe geeigneter Additionstheoreme umformen.
>
> Für x=0:
>
> linksseitiger Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0^{-}}f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+cos(0-\bruch{1}{n})}{sin(0-\bruch{1}{n})}=\bruch{2}{0}=\infty[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow\0^{-}}f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+cos(0-\bruch{1}{n})}{sin(0-\bruch{1}{n})}=\bruch{2}{0}=\red{-}\infty[/mm]
>
> (So hatten wir es in der Vorlesung, dass [mm]\bruch{a}{0}[/mm] mit
> [mm]a\in\IR\backslash0 =\infty[/mm] ist)
>
> Dann muss ich den rechtsseitigen Grenzwert doch gar nicht
> mehr ausrechnen oder?
>
Eigentlich schon.
>
> für [mm]x=\pi[/mm]
>
> linksseitiger Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\\pi^{-}}f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+cos(\pi-\bruch{1}{n})}{sin(\pi-\bruch{1}{n})}\underbrace{=}_{\bruch{0}{0}}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(1+cos(\pi-\bruch{1}{n}))*(1-cos(\pi-\bruch{1}{n}))}{(sin(\pi-\bruch{1}{n}))*(1-cos(\pi-\bruch{1}{n}))}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1-cos^2(\pi-\bruch{1}{n})}{(sin(\pi-\bruch{1}{n}))*(1-cos(\pi-\bruch{1}{n}))}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin^2(\pi-\bruch{1}{n})}{(sin(\pi-\bruch{1}{n}))*(1-cos(\pi-\bruch{1}{n}))}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin(\pi-\bruch{1}{n})}{(1-cos(\pi-\bruch{1}{n}))}[/mm]
> [mm]=\bruch{0}{2}=0[/mm]
>
> rechtsseitiger Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\\pi^{+}}f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+cos(\pi+\bruch{1}{n})}{sin(\pi+\bruch{1}{n})}\underbrace{=}_{\bruch{0}{0}}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(1+cos(\pi+\bruch{1}{n}))*(1-cos(\pi+\bruch{1}{n}))}{(sin(\pi+\bruch{1}{n}))*(1-cos(\pi+\bruch{1}{n}))}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1-cos^2(\pi+\bruch{1}{n})}{(sin(\pi+\bruch{1}{n}))*(1-cos(\pi+\bruch{1}{n}))}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin^2(\pi+\bruch{1}{n})}{(sin(\pi+\bruch{1}{n}))*(1-cos(\pi+\bruch{1}{n}))}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin(\pi+\bruch{1}{n})}{(1-cos(\pi+\bruch{1}{n}))}[/mm]
> [mm]=\bruch{0}{2}=0[/mm]
>
> Dann wäre die Definitionslücke [mm]x=\pi[/mm] ja stetig behhebbar,
> aber wie gehe ich jetzt mit den restlichen
> Definitionslücken vor [mm](k*\pi)[/mm] ?
Siehe oben.
>
> Danke und Gruß,
> tedd
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
Unetrscheide bei Deiner Analyse der Definitionslücken [mm] $k*\pi$ [/mm] in gerade und ungerade $k_$ . Damit hättest Du auch alle "verarbeitet".
Gruß
Loddar
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Du nutzt
1) [mm] \cos{\left(\bruch{x}{2}+\bruch{x}{2}\right)}=\cos^2{\bruch{x}{2}}-\sin^2{\bruch{x}{2}}
[/mm]
2) [mm] \sin{\left(\bruch{x}{2}+\bruch{x}{2}\right)}=2\sin{\bruch{x}{2}}\cos{\bruch{x}{2}}
[/mm]
3) [mm] \sin^2{\bruch{x}{2}}+\cos^2{\bruch{x}{2}}=1
[/mm]
Dann folgt
[mm] \bruch{1+\cos{x}}{\sin{x}}=\bruch{1+\cos^2{\bruch{x}{2}}-\sin^2{\bruch{x}{2}}}{2\sin{\bruch{x}{2}}\cos{\bruch{x}{2}}}=\bruch{\sin^2{\bruch{x}{2}}+\cos^2{\bruch{x}{2}}+\cos^2{\bruch{x}{2}}-\sin^2{\bruch{x}{2}}}{2\sin{\bruch{x}{2}}\cos{\bruch{x}{2}}}=\bruch{2\cos^2{\bruch{x}{2}}}{2\sin{\bruch{x}{2}}\cos{\bruch{x}{2}}}=\bruch{\cos{\bruch{x}{2}}}{\sin{\bruch{x}{2}}}
[/mm]
Allerdings haben solche Kürzungen ja immer das Problem, dass man den Fall ...=0 gesondert untersuchen muss.
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![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
