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| Aufgabe | Untersuche die Funktion f mit
f(x) = [mm] \bruch{(x+2)²}{x-3} [/mm] |
Bin dabei die Ableitung zu bestimmen, doch kommt ein merkwürdiges Ergebnis raus.
In der Funktion steckt ja Kettenregel + Quotientenregel.
habe erstmal oben das ausgerechnet...
f(x) = (x+2)
f'(x) = 2x + 4
so dann nach der quotientenregel weitergemacht...
f'(x) = [mm] \bruch{(2x+4) \* (x - 3) - (x+2)² \* 1 }{(x-3)²}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{(2x² - 6x + 4x -12) - (x² + 4x + 4)}{(x-3)²}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{(2x² - 2x - 12) - x² - 4x -4 }{(x-3)²}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{x²-6x-16}{(x-3)²}
[/mm]
oben das ist ja eine bionomische formel und wäre umgeschrieben:
= (x-3)² - 25
also
f'(x) = [mm] \bruch{(x-3)² - 25}{(x-3)²}
[/mm]
kürzen
f'(x) = -25
...? richtig?
lg
toffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 So 04.03.2007 | | Autor: | Walde |
Hi Toffifee,
> Untersuche die Funktion f mit
>
> f(x) = [mm]\bruch{(x+2)²}{x-3}[/mm]
> Bin dabei die Ableitung zu bestimmen, doch kommt ein
> merkwürdiges Ergebnis raus.
>
> In der Funktion steckt ja Kettenregel + Quotientenregel.
>
> habe erstmal oben das ausgerechnet...
>
> f(x) = (x+2)
> f'(x) = 2x + 4
>
> so dann nach der quotientenregel weitergemacht...
>
> f'(x) = [mm]\bruch{(2x+4) \* (x - 3) - (x+2)² \* 1 }{(x-3)²}[/mm]
>
> f'(x) = [mm]\bruch{(2x² - 6x + 4x -12) - (x² + 4x + 4)}{(x-3)²}[/mm]
>
> f'(x) = [mm]\bruch{(2x² - 2x - 12) - x² - 4x -4 }{(x-3)²}[/mm]
>
> f'(x) = [mm]\bruch{x²-6x-16}{(x-3)²}[/mm]
>
> oben das ist ja eine bionomische formel und wäre
> umgeschrieben:
>
> = (x-3)² - 25
>
> also
>
> f'(x) = [mm]\bruch{(x-3)² - 25}{(x-3)²}[/mm]
>
> kürzen
>
> f'(x) = -25
Ack, mir wird schwindlig 
Kennst du nicht den Spruch: Aus Summen, kürzen nur die...,die wissen, dass man dann aus jedem Summanden kürzen muss.
[mm] \bruch{(x-3)² - 25}{(x-3)²}=1-\bruch{25}{(x-3)^2}
[/mm]
LG walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 So 04.03.2007 | | Autor: | Toffifee12 |
ohhh xD
dankeeee ;)
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weiter gehts^^''
nunja,habe jetzt die Nullstellen ausgerechnet.
habe dazu die Formel genommen
f'(x) = [mm] \bruch{(x-3)² - 25}{(x-3)²}
[/mm]
un den zähler gleich 0 gesetzt:
(x-3)² - 25 = 0 /+25
(x-3)² = 25 /wurzel
x-3 = 5 /+3
x = 8
NST = 8
also nur eine dann?
warn sonst immer mehr ^^''
dann habe ich HP bzw TP bestimmt, also die zweite ableitung gebildet...
würde das ja gern aufschreiben nur nimmt zu viel zeit in anspruch, da sie wirklich lang und kompliziert war <.<
[...]
f''(x) = [mm] \bruch{50x - 150}{(x-3)^{4}}
[/mm]
f''(x) = [mm] \bruch{50(x-3)}{(x-3)^{4}}
[/mm]
jaa und diesma darf ich kürzen :)
f''(x) = [mm] \bruch{50}{(x-3)³}
[/mm]
für x hab ich dann 8 eingesetzt.
da kommt dann raus
f''(8) = [mm] \bruch{2}{5}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{5} [/mm] > 0 -> TP
richtig?
lg toffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Mo 05.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
du merkst selber, eine Nst ist in dem Fall zu wenig. Du machst es insoweit richtig, dass du den Zähler Null setzt, aber versuch es doch mal so:
(x-3)² - 25 = 0
x²-6x+9-25=0
x²-6x - 16 = 0
mit pq-Formel folgt:
[mm] x_{1}=8
[/mm]
[mm] x_{2}=-2
[/mm]
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ach irgendwas mach ich immer falsch! -.-
vielen dank!
ist meine zweite ableitung denn richtig?
wenn ich -2 noch in die 2.te Ableitung einsetze kommt
- [mm] \bruch{2}{5} [/mm] raus
also ein Hochpunkt
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Hallo,
deine 2. Ableitung ist korrekt:
f''(x) = [mm] \bruch{50}{(x-3)^{3}},
[/mm]
jetzt weißt du, die 1. Ableitung hat an den Stellen [mm] x_1=-2 [/mm] und [mm] x_2=8 [/mm] eine Nullstelle, es existiert also jeweils eine Extremstelle, das mußt du überprüfen:
f''(-2) = [mm] \bruch{50}{(-2-3)^{3}} [/mm] = -0,4 < 0 also Maximum an der Stelle [mm] x_1=-2
[/mm]
f''(8) = [mm] \bruch{50}{(8-3)^{3}} [/mm] = 0,4 > 0 also Minimum an der Stelle [mm] x_2=8
[/mm]
Steffi
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okay danke :)
Asymptote berechnen:
Polynomdivision
f(x) = [mm] \bruch{(x+2)²}{x-3}
[/mm]
(x² + 4x + 4) : (x-3) = x+7 + [mm] \bruch{25}{(x-3)}
[/mm]
-(x² - 3x)
----------
7x
- (7x- 21)
----------
25
Asymptote: f(x) = x+7
richtig?
lg
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Hallo,
so ist es korrekt,
Steffi
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das mit dem Grenzwert versteh ich irgendwie nicht...
ich muss die Funktion ja gegen -2 gehen lassen, weil minus zwei im definitionsbereich ausgeschlossen ist...
also habe
x > 3
ich muss für x doch jetzt sowas wie 3,1111 einsetzen oder?
lim x + 7 + [mm] \bruch{25}{x-3} [/mm] -> gegen
x-> 3 -> 10 -> + unendlich -> + unendlich
------------
x < 3
lim x + 7 + [mm] \bruch{25}{x-3} [/mm] -> gegen
x-> 3 -> 10 - unendlich -> - unendlich
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Walde |
hi Toffi,
> das mit dem Grenzwert versteh ich irgendwie nicht...
> ich muss die Funktion ja gegen -2 gehen lassen, weil minus
> zwei im definitionsbereich ausgeschlossen ist...
Äh, wieso -2? die Definitionslücke ist doch bei x=3
>
> also habe
>
> x > 3
>
> ich muss für x doch jetzt sowas wie 3,1111 einsetzen oder?
Du erkennst es umso besser, je näher der Wert den du probeweise einsetzt bei 3 liegt,also z.B. 3,000001 (für x>3) oder 2,999999 (für x<3).
>
> lim x + 7 + [mm]\bruch{25}{x-3}[/mm] ->
> gegen
> x-> 3 -> 10 -> + unendlich -> + unendlich
>
> ------------
>
> x < 3
>
> lim x + 7 + [mm]\bruch{25}{x-3}[/mm] ->
> gegen
> x-> 3 -> 10 - unendlich -> - unendlich
>
>
> richtig?
Hier hast du es jedenfalls richtig gemacht.
Du hast also bei x=3 einen Pol mit Vorzeichenwechsel von - nach + (falls ihr die Begriffe so hattet.)
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Toffifee12 |
oh ja, ich meine natürlich 3, bin in der aufgabe irgendwie verrutscht...
dankeschön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Do 19.04.2007 | | Autor: | Toffifee12 |
hey :)
wollte nur noch ma danke sagen ^^ für hilfe ^^
haben arbeit zurückbekommen un ich hab 11 Punkte :> wobei der durchschnitt irgendwas mit 5,2 punkte war xD
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