Fundamentalsystem/Wronskidet. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:43 So 10.04.2005 | | Autor: | snowda |
(ups, hab mich im Forum vertan, wollte eigentlich zur Hochschule, kann ich das noch ändern?)
Hallo,
ich habe leider kaum Beispiele mit Lösungen zu folgendem Aufgabentyp und würde gern wissen, ob ich nichts falsch mache, bzw. ob's nicht irgendwo einfacher geht:
Berechnen Sie ein Fundamentalsystem von
y'= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ - \bruch{1}{x}& \bruch{x+1}{x} } [/mm] y = Ay
Eine Lösung ist [mm] y_{1}(x) [/mm] = [mm] e^{x} \pmat{ 1 \\ 1 }.
[/mm]
Ges.: [mm] y_{2}= \pmat{ u \\ v }
[/mm]
w(x) ist Wronskideterminante.
________
w(x) = c [mm] \* e^{ \integral_{}^{x} { Spur A(t) dt}} [/mm] = c [mm] \* e^{ \integral_{}^{x} { \bruch{1+t}{t} dt}} [/mm] = c [mm] \* [/mm] x [mm] \* e^{x}
[/mm]
andererseits:
w(x) = det [mm] \pmat{ e^{x} & u \\ e^{x} &v } [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] ( v- u) != c [mm] \*x \*e^{x}
[/mm]
Betrachte nun:
[mm] \pmat{ u' \\ v' }= \pmat{ v \\ -\bruch{1}{x}*u + \bruch{1+x}{x}*v } [/mm] = [mm] \pmat{ cx+u \\ -\bruch{1}{x}*(v- cx) + \bruch{1+x}{x}*v }= \pmat{ cx+u \\ v+c }
[/mm]
=> [mm] \bruch{dv}{dx}=v+c
[/mm]
[mm] \integral_{}^{V} [/mm] { [mm] \bruch{dv}{v+c}}= \integral_{}^{X} [/mm] {dx}
v+c = [mm] c_{2}\*e^{x}
[/mm]
[mm] v=c_{2}\*e^{x}-c
[/mm]
=> u = [mm] c_{2}\*e^{x}-c(1-x)
[/mm]
setze: [mm] c_{x}=c [/mm] = 1
[mm] y_{2}= \pmat{ e^{x}-(1+x) \\ e^{x}-1 }
[/mm]
danke für's Lesen,
Daniel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo snowda,
da hast Du fast alles richtig gemacht.
> [mm]y_{2}= \pmat{ e^{x}-(1+x) \\ e^{x}-1 }[/mm]
Hier siehst Du, daß [mm]y_{1}[/mm] in [mm]y_{2}[/mm] enthalten ist.
Demzufolge ist eine zweite Lösung:
[mm]y_{2}= \pmat{ -(1+x) \\ -1 }[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 So 10.04.2005 | | Autor: | snowda |
Hi MathePower,
danke fürs Korrekturlesen.
Muss ich die erste Lösung denn aus der 2. entfernen?
Das Fundamentalsystem ist doch ein Vektorraum und daher ist doch, wenn
mein FS. [mm] [/mm] ist, auch [mm] y_{3}=y_{2}+ \alpha y_{1} [/mm] linear unabhängig von [mm] y_{1} [/mm] (Austauschsatz von Steinitz) und somit auch [mm] [/mm] ein FS, oder?
Oder ist das Entfernen eine rein kosmetische Maßnahme?
Gruß,
Daniel
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Hallo,
das kannst Du so stehen lassen. da es sich ja um 2 linear unabhängige Lösungen handelt. Besser ist es schon, wenn Du die 1. Lösung aus der 2. entfernst.
Gruß
MathePower
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