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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:42 Mo 07.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei [mm] ($\phi_{1}, \phi_{2}$) [/mm] ein Fundamentalsystem für eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form [mm] $y''(x)+a_{1}(x)y'(x)+a_{0}(x)y(x)=0$ [/mm] (definiert für $x [mm] \in [/mm] I$). Seien weiter [mm] $x_{0} \in [/mm] I$ und [mm] $y_{0},y_{1} \in \IR$ [/mm] fest gewählt. Es sollen die passenden Konstanten [mm] $c_{1},c_{2} \in \IR$ [/mm] so bestimmt werden, dass die Funktion [mm] $\phi [/mm] := [mm] c_{1}\phi_{1} [/mm] + [mm] c_{2}\phi_{2}$ [/mm] die Anfangsbedingungen
[mm] $\phi(x_{0})=y_{0}$ [/mm] und [mm] $\phi [/mm] ' [mm] (x_{0})=y_{1}$
[/mm]
erfüllt. |
Hallo,
Aus [mm] $\phi (x_{0})=y_{0}$
[/mm]
und [mm] $\phi [/mm] ' [mm] (x_{0}=y_{1}$
[/mm]
folgt
[mm] $c_{1}\phi_{1}(x_{0})+c_{2}\phi_{2} (x_{0})=y_{0}$
[/mm]
[mm] $c_{1}\phi_{1}'(x_{0})+c_{2} \phi_{2}' (x_{0})=y_{1}$
[/mm]
umformen nach
[mm] $c_{1}= \frac{y_{0}\phi _{2}'(x_{0})- y_{1}\phi_{2}(x_{0})}{\phi_{1}(x_{0}) \phi_{2}'(x_{0}) -\phi_{1}'(x_{0}) \phi_{2}(x_{0})}$
[/mm]
[mm] $c_{2}= \frac{-y_{0}\phi _{1}'(x_{0}+ y_{1}\phi_{1}(x_{0})}{\phi_{1}(x_{0}) \phi_{2}'(x_{0}) -\phi_{1}'(x_{0}) \phi_{2}(x_{0})}$
[/mm]
bin ich damit fertig? Oder muss ich noch was mit Matrizen machen?
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Mo 07.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei ([mm]\phi_{1}, \phi_{2}[/mm]) ein Fundamentalsystem für eine
> lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form
> [mm]y''(x)+a_{1}(x)y'(x)+a_{0}(x)y(x)=0[/mm] (definiert für [mm]x \in I[/mm]).
> Seien weiter [mm]x_{0} \in I[/mm] und [mm]y_{0},y_{1} \in \IR[/mm] fest
> gewählt. Es sollen die passenden Konstanten [mm]c_{1},c_{2} \in \IR[/mm]
> so bestimmt werden, dass die Funktion [mm]\phi := c_{1}\phi_{1} + c_{2}\phi_{2}[/mm]
> die Anfangsbedingungen
>
> [mm]\phi(x_{0})=y_{0}[/mm] und [mm]\phi ' (x_{0})=y_{1}[/mm]
>
> erfüllt.
>
> Hallo,
>
> Aus [mm]\phi (x_{0})=y_{0}[/mm]
>
> und [mm]\phi ' (x_{0}=y_{1}[/mm]
>
> folgt
>
> [mm]c_{1}\phi_{1}(x_{0})+c_{2}\phi_{2} (x_{0})=y_{0}[/mm]
>
> [mm]c_{1}\phi_{1}'(x_{0})+c_{2} \phi_{2}' (x_{0})=y_{1}[/mm]
>
>
> umformen nach
>
> [mm]c_{1}= \frac{y_{0}\phi _{2}'(x_{0})- y_{1}\phi_{2}(x_{0})}{\phi_{1}(x_{0}) \phi_{2}'(x_{0}) -\phi_{1}'(x_{0}) \phi_{2}(x_{0})}[/mm]
>
> [mm]c_{2}= \frac{-y_{0}\phi _{1}'(x_{0}+ y_{1}\phi_{1}(x_{0})}{\phi_{1}(x_{0}) \phi_{2}'(x_{0}) -\phi_{1}'(x_{0}) \phi_{2}(x_{0})}[/mm]
>
>
> bin ich damit fertig? Oder muss ich noch was mit Matrizen
> machen?
Nein, damit bist Du fertig. Ist Dir klar, dass
[mm] \phi_{1}(x_{0}) \phi_{2}'(x_{0}) -\phi_{1}'(x_{0}) \phi_{2}(x_{0}) \ne [/mm] 0
ist ?
FRED
>
>
>
> Danke und Gruss
>
> kushkush
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Mo 07.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
< Nein, damit bist Du fertig.
Danke.
< Ist Dir klar, dass
ja, denn sonst wären sie linear abhängig, was sie ja nicht sind.
Gruss
kushkush
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