Fredholmsche Alternative < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Fr 10.04.2009 | | Autor: | Aquilera |
| Aufgabe | Es seien n verschiedene reelle Zahlen [mm] t_1,...t_n [/mm] sowie n weitere reelle Zahlen [mm] b_1,...,b_n [/mm] gegeben.
Zeigen sie mit Hilfe der Fredholmschen Alternative, dass es genau ein Polynom p [mm] \in \IR_{n-1} [/mm] [x] gibt, so dass gilt
[mm] p(t_i)=b_i [/mm] für i= 1, ..., n |
Kann mir jemand einen kleinen Tipp geben, ich weiß gar nicht wie ich an die Aufgabe rangehen soll :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Fr 10.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Formulier doch mal die F A fuer dein Problem.
Wo ist da ne lin. Abbildung? von wo nach wo?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Fr 10.04.2009 | | Autor: | Aquilera |
In einem n-dimensioanlen Vektorraum V gilt für eine lineare Abbildung A: V [mm] \to [/mm] V genau eine der folgenden Alternativen:
1. Zu jedem Vektor v in V gibt es einen Vektor u in V so, dass Au = v, d.h. A ist surjektiv.
oder
2. dim(kerA) [mm] \not= [/mm] 0, d.h. A hat einen nichtrivialen Kern.
Tja, wo ist die Abbildung?
Aus dem Raum der Poynome vom Grad n-1 auf [mm] \IR
[/mm]
Und nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 So 12.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> In einem n-dimensioanlen Vektorraum V gilt für eine lineare
> Abbildung A: V [mm]\to[/mm] V genau eine der folgenden
> Alternativen:
>
> 1. Zu jedem Vektor v in V gibt es einen Vektor u in V so,
> dass Au = v, d.h. A ist surjektiv.
>
> oder
>
> 2. dim(kerA) [mm]\not=[/mm] 0, d.h. A hat einen nichtrivialen Kern.
Soweit so gut.
> Tja, wo ist die Abbildung?
> Aus dem Raum der Poynome vom Grad n-1 auf [mm]\IR[/mm]
Und wie willst du dadrauf die Fredholmsche Alternative anwenden? Und mal davon abgesehen, wie sollte diese Abbildung ueberhaupt aussehen?
Du brauchst eine Abbildung [mm] $\IR^n \to \IR^n$.
[/mm]
Dass man den [mm] $\IR^n$ [/mm] auf der linken Seite mit dem Raum der Polynome von Grad hoechstens $n - 1$ (nicht gleich, dann ist's kein Vektorraum!) identifiziert, hattest du (fast) schon.
Aber was ist die rechte Seite?
Was kennst du denn ueberhaupt so fuer lineare Abbildungen, die irgendetwas mit Polynomen machen? Ausser Identitaet und Ableiten und Integrieren?
Wenn du keine Idee hast, mal anders: du willst ja, dass [mm] $p(t_i) [/mm] = [mm] b_i$ [/mm] ist, $i = 1, [mm] \dots, [/mm] n$. Wenn du das mit linearer Algebra bearbeiten willst, brauchst du ein lineares Gleichungssystem. Wo bekommst du das her?
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 07:56 Mi 15.04.2009 | | Autor: | Aquilera |
Das LGS bzw die Matrix bekomme ich aus dem Koeffizienten der Polynome, die ich für die einzelnen [mm] t_i [/mm] aufstelle.
Aber wie zeige mHd FA dass so etwas exisitiert?
(Ich hab den Fred irgendwie nicht verstanden)
SUsann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:33 Mi 15.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Das LGS bzw die Matrix bekomme ich aus dem Koeffizienten
> der Polynome, die ich für die einzelnen [mm]t_i[/mm] aufstelle.
>
> Aber wie zeige mHd FA dass so etwas exisitiert?
> (Ich hab den Fred irgendwie nicht verstanden)
>
Meinst Du mich ? Ich hab doch noch gar nichts gesagt
Aber ich schreibe Dir gleich etwas zu Deinem Problem.
Oder meinst Du Ivar Fredholm (schwedischer Mathematiker ,http://de.wikipedia.org/wiki/Erik_Ivar_Fredholm) ?
FRED
> SUsann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Mi 15.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei V = [mm] \IR_{n-1} [/mm] [x] der Raum aller Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n-1 und die lineare Abbildung
[mm] \Phi [/mm] : V [mm] \to \IR^n
[/mm]
definiert durch
$ [mm] \Phi(p) [/mm] = [mm] (p(t_1), [/mm] ,,, [mm] p(t_n))$
[/mm]
Sei $p [mm] \in Kern(\Phi)$. [/mm] Dann hat p die n paarweise verschiedenen Nullstellen [mm] t_1, [/mm] ..., [mm] t_n.
[/mm]
Wäre p nicht das Nullpolynom, so hätte p , da Grad(p) [mm] \le [/mm] n-1, höchstens n-1 Nullstellen, Wid. , also ist p das Nullpolynom. Somit:
[mm] Kern(\Phi) [/mm] = {0}
und [mm] \Phi [/mm] ist injektiv. Da dim V = dim [mm] \IR^n [/mm] = n, ist [mm] \Phi [/mm] surjektiv (dies ist nur eine andere Formulierung der Fredholmschen Alternative)
Fazit:
es gibt genau ein Polynom p $ [mm] \in \IR_{n-1} [/mm] $ [x] mit $ [mm] p(t_i)=b_i [/mm] $ für i= 1, ..., n
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Do 16.04.2009 | | Autor: | Aquilera |
Wie kann ich denn die Determinante dieses Gleichungssystems berechnen, welches ich nun erhalte? Bzw wie sieht das GLs eigentlich aus?
Meiner Meinung nach ist es doch eine nxn Matrix mit den Einträgen
[mm] t_1^{n-1} t_1^{n-2}....... [/mm] usw. bis
[mm] t_n^{n-1} t_1^{n-2}.......
[/mm]
Aber üblicherweise ist die Matrix doch abhängig von den stützstellen voll besetzt.
Wie kann ich da allgemeine Aussagen über die Berechnung der Determinante machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wie kann ich denn die Determinante dieses Gleichungssystems
> berechnen, welches ich nun erhalte? Bzw wie sieht das GLs
> eigentlich aus?
>
> Meiner Meinung nach ist es doch eine nxn Matrix mit den
> Einträgen
> [mm]t_1^{n-1} t_1^{n-2}.......[/mm] usw. bis
> [mm]t_n^{n-1} t_1^{n-2}.......[/mm]
>
> Aber üblicherweise ist die Matrix doch abhängig von den
> stützstellen voll besetzt.
> Wie kann ich da allgemeine Aussagen über die Berechnung
> der Determinante machen?
Wozu willst Du das alles ? Ich hab Dir doch oben eine tadellose Lösung geliefert !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Do 16.04.2009 | | Autor: | Aquilera |
Die Lösung ist super, ich danke dir vielemal dafür. Aber ich hab zu dem thema ziemlich viele aufgaben bekommen und finde es recht schwierig ohne kenntnisse der numerik interpolation betreiben zu müssen.
Und diese konkrete Matrix aufzustellen bzw deren determinante aszurechnen ist die nächste....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Die j-te Spalte der Abbildungsmatrix der Abb. [mm] \Phi [/mm] ist
[mm] t_1^j
[/mm]
[mm] t_2^j
[/mm]
.
.
.
[mm] t_n^j,
[/mm]
wobei in V die Basis { 1, x, [mm] x^2, [/mm] ..., [mm] x^{n-1} [/mm] } und im [mm] \IR^n [/mm] die Standardbasis zugrunde gelegt ist
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Do 16.04.2009 | | Autor: | Aquilera |
Aber wie berechne ich allgemein die Determinante dieser Matrix?
Geht das überhaupt?
Ich meine, die aussage und ab hier gehts weiter mit dem gauss algo ist etwas dürftig, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Schau mal
![[]](/images/popup.gif) hier
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Do 16.04.2009 | | Autor: | Aquilera |
So ganz langsam scheint mir eine kleine kerze aufzugehen :)
Ich danke dir für die Hilfe!
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