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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:58 Fr 30.11.2012 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | G endliche Gruppe.
[mm] G/\Phi(G) [/mm] nilpotent [mm] \Rightarrow [/mm] G nilpotent |
Hallo!
Hier mein Beweisversuch:
Für G endlich gilt, G nilpotent [mm] \gdw [/mm] alle Sylowgruppen sind normal.
Sei P also eine Sylowgruppe in G.
Durch eine andere Aufgabe weiß ich, dass mit G endlich [mm] \Phi(G) [/mm] nilpotent ist. Und [mm] \Phi(G) [/mm] ist Normalteiler von G.
Dann ist [mm] P\Phi(G)\le [/mm] G. und [mm] P\Phi(G)/\Phi(G) [/mm] ist Sylowgruppe von [mm] G/\Phi(G). [/mm]
Da [mm] G/\Phi(G) [/mm] nilpotent ist, ist [mm] P\Phi(G)/\Phi(G) [/mm] normal in [mm] G/\Phi(G) [/mm] und also [mm] P\Phi(G) [/mm] normal in G.
Mit dem Frattini Argument bekomme ich dann:
[mm] G=N_{G}(P)\Phi(G) \Rightarrow G=N_{G}(P) [/mm] und das ist gerade der Fall wenn P normal ist in G.
Da P beliebige Sylowgruppe in G ist sind also alle Sylowgruppen in G normal und daher G nilpotent.
Ist das OK so?
Kennt jemand zufällig auch ein Beispiel wo das für G nicht endlich nicht funktioniert? Also, dass [mm] G/\Phi(G) [/mm] nilpotent ist, G aber nicht?
Lg! Loko :)
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Hi,
der Beweis geht so durch. Du schiebst ja alles auf die Aussage:
endl. Gruppe G nilpotent <=> für alle p prim und eine p-Sly.gr P ist P normal in G.
Für das Gegenbeispiel im undendlichen Fall: Was ist mit den üblichen Verdächtigen [mm] $\IZ, \IQ$?
[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:33 Mo 03.12.2012 | | Autor: | Loko |
Danke für die Antwort!
Zu dem Bsp., aber ist denn nicht [mm] $\Phi(\mathbb{Z})=0$, [/mm] und also [mm] $\mathbb{Z}/\Phi(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$?
[/mm]
Und [mm] $\Phi(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$, [/mm] und also [mm] $\mathbb{Q}/\Phi(\mathbb{Q})=e$?
[/mm]
Hat vielleicht jemand ein anderes Beispiel? Oder kann mir erklären wo mein Fehler liegt?
Ganz lg!!
Loko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Mo 03.12.2012 | | Autor: | hippias |
Ich habe das Beispiel nicht im Detail ueberprueft, es ist nur eine Idee ohne jede Gewaehr: Sei $H:= [mm] \times_{n\in \IN} C_{2^{n}}$, $C_{2^{n}}$ [/mm] zyklische Gruppe der Ordnung [mm] $2^{n}$. $\alpha$ [/mm] operiere durch Invertierung auf $H$ und sei $G$ das semidirekte Produkt von [mm] $\alpha$ [/mm] und $H$. Ich meine [mm] $G/\Phi(G)$ [/mm] ist eine abelsche Gruppe, mit [mm] $x^{2}= [/mm] 1$ für alle $x$, also insbesondere nilpotent: Ist [mm] $M\leq [/mm] G$ maximal mit [mm] $M\leq [/mm] H$, so ist [mm] $\alpha\not\in [/mm] M$. Andererseits ist $M$ [mm] $\alpha$-invariant, [/mm] d.h. $G= [mm] <\alpha>M$ [/mm] und somit $H= M$. Ist [mm] $M\not\leq [/mm] H$, so sei [mm] $x\in M\backslash [/mm] H$. Es folgt $M= [mm] (M\cap [/mm] H)$, [mm] $M\cap [/mm] H$ maximal in $H$ (wegen $G= <x>H$).
Es muesste leicht zu zeigen sein, dass die Zentralreihe von $G$ niemals $=G$ wird, also $G$ nicht nilpotent ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Mi 05.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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