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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Mo 07.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Erstmal sry, wenn ich viele Themen erstelle, aber ich möchte meine Fragen natürlich vor der Arbeit noch klären.
Und zwar gehts um folgenden Beweis.
Vor:
- f: D [mm] \subseteq \IR \to \IR
[/mm]
- D offen
- f stetig + injektiv
Beh: f(D) offen und [mm] f^{-1} [/mm] stetig
Bew:
Sei [mm] y_{0} \in [/mm] f(D) und sei [mm] x_{0}:=f^{-1}(y_{0}). [/mm] Weil D offen ist, gibt es Zahlen a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a < b und
[mm] x_{0} \in [/mm] (a,b) [mm] \subseteq [/mm] [a,b] [mm] \subseteq [/mm] D
Und das versteh ich schon nicht. Kann mir jemand erklären, was hier gemacht wurde??? Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mo 07.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch [mm] x_0 \in [/mm] D und D ist offen. Dann gibt es ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 mit:
$ [mm] (x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon) \subseteq [/mm] D$
Setze zum Beispiel [mm] $a:=x_0-\varepsilon/2$ [/mm] und $b:= [mm] x_0+\varepsilon/2$
[/mm]
Dann: a < b und $ [mm] x_{0} \in [/mm] (a,b) [mm] \subseteq [/mm] [a,b] [mm] \subseteq [/mm] D $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Mo 07.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Dann darf ich dieses Epsilon also beleibig wählen, also in dem fall auch [mm] \varepsilon [/mm] /2. Ich dürfte aber auch einfach [mm] \varepsilon [/mm] /3 wählen, wenn ich das richtige wäre. Das ist dann aber auch ein Intervall, oder?
Nach dem Skript müsste f, eingeschränkt auf [a,b], dann streng monoton, etwa steigend, sein. Das versteh ich auch.
Nur wird jetzt gesagt, dass gilt:
[mm] y_{0} \in [/mm] (f(a),f(b)) [mm] \subseteq [/mm] [f(a),f(b)] = f([a,b]) [mm] \subseteq [/mm] f(D)
Kann man mir diese Schritte mal erklären, weil ich keinen von diesen verstehe :( [mm] y_{0} [/mm] soll danach dann innerer Punkt sein??? Den Rest des Beweises verstehe ich dann aber wieder.
Danke vielmals. ich hoffe, dass es ok ist, wenn ich so "blöd" frage, aber habe echt keine Ahnung, was in diesen Schritten gemacht wurde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Mo 07.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Dann darf ich dieses Epsilon also beleibig wählen,
nein, beliebig nicht. Die Offenheit von D garantiert die Existenz eines [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit blabla blubber....... Jedes kleinere tuts auch.
> also in
> dem fall auch [mm]\varepsilon[/mm] /2. Ich dürfte aber auch einfach
> [mm]\varepsilon[/mm] /3 wählen, wenn ich das richtige wäre. Das
> ist dann aber auch ein Intervall, oder?
>
> Nach dem Skript müsste f, eingeschränkt auf [a,b], dann
> streng monoton, etwa steigend, sein. Das versteh ich auch.
>
> Nur wird jetzt gesagt, dass gilt:
>
> [mm]y_{0} \in[/mm] (f(a),f(b)) [mm]\subseteq[/mm] [f(a),f(b)] = f([a,b])
> [mm]\subseteq[/mm] f(D)
>
> Kann man mir diese Schritte mal erklären, weil ich keinen
> von diesen verstehe :( [mm]y_{0}[/mm] soll danach dann innerer Punkt
> sein??? Den Rest des Beweises verstehe ich dann aber
> wieder.
Wir haben: [mm] x_0 \in [/mm] (a,b) [mm] \subset [/mm] [a,b] [mm] \subset [/mm] D, [mm] y_0 =f(x_0) [/mm] und f wachsend.
Dann: [mm] y_0=f(x_0) \in [/mm] f((a,b)). Klar bis hierhin ?
Da f wachsend und stetig ist, ist f((a,b))= (f(a),f(b))
(f(a),f(b)) ist Teilmenge von [f(a),f(b)] und es gilt [f(a),f(b)] = [f(a),f(b)] [mm] \subseteq [/mm] f(D)
Also:
[mm] y_0 \in [/mm] (f(a), f(b)) [mm] \subset [/mm] f(D)
Da (f(a), f(b)) offen ist, ist [mm] y_0 [/mm] innerer Punkt von f(D)
FRED
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> Danke vielmals. ich hoffe, dass es ok ist, wenn ich so
> "blöd" frage, aber habe echt keine Ahnung, was in diesen
> Schritten gemacht wurde.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mo 07.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Klar bis hierhin ?
Ich denk schon. Danke. Aber warum wählt man [mm] \varepsilon [/mm] /2 ? Das war an sich doch willkürlich gewählt, oder?
> Da f wachsend und stetig ist, ist f((a,b))= (f(a),f(b))
Das versteh ich nicht ganz, also die Folgerung. Resultiert das aus dem Zwischenwertsatz? Sieht für mich so aus.
Den Rest hab ich verstanden. Danke. ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Mo 07.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Klar bis hierhin ?
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> Ich denk schon. Danke. Aber warum wählt man [mm]\varepsilon[/mm] /2
> ? Das war an sich doch willkürlich gewählt, oder?
Ja, jede positive Zahl < [mm] \varepsilon [/mm] tuts auch.
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> > Da f wachsend und stetig ist, ist f((a,b))= (f(a),f(b))
>
> Das versteh ich nicht ganz, also die Folgerung. Resultiert
> das aus dem Zwischenwertsatz?
Genau .
FRED
> Sieht für mich so aus.
>
> Den Rest hab ich verstanden. Danke. ;)
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