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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:02 So 14.01.2007 | | Autor: | bob86a |
| Aufgabe | Gegeben sei die folgende lineare Abbildung f mit
f: [mm] M^3 \to M^3, [/mm] f(x) = [mm] \pmat{ 2 & 4 & 2\alpha \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & \alpha + 2 & 9} [/mm] * x und b = [mm] \vektor{6 \\ -4 \\ 6}.
[/mm]
(a) Sei M = [mm] \IR. [/mm] Für welche Werte [mm] \alpha \in [/mm] M gilt:
i. Kern(f) = {0}
ii. Es existieren unendlich viele Urbilder x [mm] \in M^3 [/mm] für b.
iii. b [mm] \not\in [/mm] Bild(f)
(b) Sei M = [mm] \IZ_{3}. [/mm] Bestimmen Sie die Urbilder von b [mm] \in \IZ_{3} [/mm] für [mm] \alpha [/mm] = [mm] [0]_{3} [/mm] |
Hallo! Ich sitze gerade an einer alten Klausuraufgabe und komme mit der nicht so recht weiter...
Habe bei a) i. damit angefangen, Gauß auf die Matrix anzuwenden und zwar mit dem Nullvektor als Lösungsvektor:
[mm] \pmat{ 2 & 4 & 2\alpha & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & \alpha + 2 & 9 & 0}
[/mm]
I. *1/2 + II und I. * (-1/2) + III führt zu
[mm] \pmat{ 2 & 4 & 2\alpha & 0 \\ 0 & 1 & \alpha -1 & 0 \\ 0 & \alpha & -\alpha + 9 & 0}
[/mm]
II. [mm] *(-\alpha) [/mm] + III. führt zu
[mm] \pmat{ 2 & 4 & 2\alpha & 0 \\ 0 & 1 & \alpha -1 & 0 \\ 0 & 0 & -\alpha^2 + \alpha - \alpha + 9 & 0}
[/mm]
also zu
[mm] \pmat{ 2 & 4 & 2\alpha & 0 \\ 0 & 1 & \alpha -1 & 0 \\ 0 & 0 & -\alpha^2 + 9 & 0}
[/mm]
So... Nur weiß ich nun nicht, für welche [mm] \alpha [/mm] Kern(f)={0} gilt... Kann mir vielleicht jemand sagen/zeigen, wie das funktionieren soll?!
Da mein Problem mit ii. und iii. äquivalent ist bin ich auch noch nicht wirklich weiter gekommen...
Vielen dank schonmal!
Gruß,
Bernd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 So 14.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
zu a) also kern(f)={0} <=> f injektiv ist <=> f bijektiv ist
(bei endl. dim. Endomorphismen)
also der kern ist genau dann trivial, wenn f invertierbar ist, also die Determinante ungleich 0 ist.
also Determinante in abhaengigkeit der Variablen bestimmen und schauen, wann sie 0 werden wuerde, das sollte reichen...
btw: ins Uni-LA-Forum verschoben - nicht Schul-LA
(bitte naechste mal drauf achten)
viele Gruesse
DaMenge
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:57 So 14.01.2007 | | Autor: | bob86a |
Ah ok, danke! Dann wäre a) i. schon mal geklärt. :)
bei a.) iii. müsste ich ja nur das GS mit b als Lösungsvektor lösen, oder nicht? (b) ist mir denke ich auch klar...
Nur a.) ii. erschließt sich mir nicht. Wie wäre das denn zu lösen?
Mfg,
Bernd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 22.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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