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Hallo ich habe mal paar Fragen zur Bestimmung der gemeinsamen Dichtefunktion.
Z.B. bei den Zufallsvariablen X,Y die beide [mm] Exp(\lambda) [/mm] verteilt sind, so gilt für die gemeinsame Dichte, die Produktdichte, d.h.
[mm] f(x,y)=\lambda*e^{-\lambda*x}*\lambda*e^{-\lambda*y}=\lambda^2 e^{-2\lambda(x+y)}
[/mm]
So, jetzt habe ich sogar irgendwo mal gesehen, dass die das dann sogar so geschrieben haben:
[mm] f(x,y)=\lambda^2 e^{-2\lambda(x+y)}*1I_{[0,\infty)}(x)*1I_{[0,\infty)}(y) [/mm] (1I soll die Indikatorfunktion sein).
Meine erste Frage:
Wann muss ich die Funktionen immer mit [mm] 1I_{[0,\infty)}(x)*1I_{[0,\infty)}(y) [/mm] multiplizieren? Macht man das nur bei den gemeinsamen Dichten? oder auch bei den Randverteilungen?
Meine zweite Sache ist:
Ich habe mit Hilfe des Forums mal die Dichte von max(X,Y) berechnet, wobei X,Y wieder beide [mm] Exp(\lambda) [/mm] verteilt waren. Man Gab mir den Tipp, dass für die Verteilungsfunktion gilt:
[mm] F_{max(X,Y)}(x) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}F_{i}(x) [/mm]
Wir kamen dann dort auf [mm] F_{max(X,Y)}(x) =(1-e^{-\lambda*x})*(1-e^{-\lambda*x})=1- 2*\lambda*e^{-\lambda*x}+e^{2*\lambda*x} [/mm] und damit bekommt man die Dichte:
[mm] f_{max(X,Y)}(x)=F'_{max(X,Y)}(x)=2*\lambda*e^{-\lambda*x}(1-e^{-\lambda*x})
[/mm]
Meine Fragen jetzt hierzu:
1) Wieso muss man, wenn man die Dichte von max(X,Y) bestimmen will, den Umweg über die Verteilungsfunktion gehen?? In der Aufgabe oben, haben wir doch auch einfach gleich die Produktdichte gebildet, wieso geht das hier nicht, und man muss erst die Produktverteilung bilden??
2) Wieder: oben haben wir bei der Berechnung der gemeinsamen Dichte zwei Variablen gehabt, [mm] f(x,y)=\lambda^2 e^{-2\lambda(x+y)}, [/mm] d.h. die Dichte ist abhängig von x und y. Wieso hängt aber die Dichte von max(X,Y) nur von x ab? oder haben wir es falsch gemacht, und es hätte auch hier bei der Berechnung der Produktverteilung [mm] F_{max(X,Y)}(x,y) =(1-e^{-\lambda*x})*(1-e^{-\lambda*y}) [/mm] heißen müssen???
3) Und dann noch meine letzte frage, muss man hier die Dichte nicht auch wieder mit der Indikatorfkt. multiplizieren? d.h. mit [mm] 1I_{[0,\infty)}(x)???
[/mm]
Wäre echt nett, wenn mir jemand diese Sachen erklären könnte.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Mo 15.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Z.B. bei den Zufallsvariablen X,Y die beide [mm]Exp(\lambda)[/mm]
> verteilt sind, so gilt für die gemeinsame Dichte, die
> Produktdichte, d.h.
>
> [mm]f(x,y)=\lambda*e^{-\lambda*x}*\lambda*e^{-\lambda*y}=\lambda^2 e^{-2\lambda(x+y)}[/mm]
>
> So, jetzt habe ich sogar irgendwo mal gesehen, dass die das
> dann sogar so geschrieben haben:
>
> [mm]f(x,y)=\lambda^2 e^{-2\lambda(x+y)}*1I_{[0,\infty)}(x)*1I_{[0,\infty)}(y)[/mm]
> (1I soll die Indikatorfunktion sein).
>
>
> Meine erste Frage:
>
> Wann muss ich die Funktionen immer mit
> [mm]1I_{[0,\infty)}(x)*1I_{[0,\infty)}(y)[/mm] multiplizieren? Macht
> man das nur bei den gemeinsamen Dichten? oder auch bei den
> Randverteilungen?
Die Dichte einer [mm] $\operatorname{Exp}(\lambda)$-Verteilung [/mm] ist gegeben durch [mm] $g(x)=\lambda*e^{-\lambda*x}*1I_{[0,\infty)}(x)$. [/mm] Die Indikatorfunktion am Ende kann man weglassen, wenn klar ist, dass die Exponentialverteilung auf dem Intervall [mm] $[0,\infty)$ [/mm] lebt.
> 1) Wieso muss man, wenn man die Dichte von max(X,Y)
> bestimmen will, den Umweg über die Verteilungsfunktion
> gehen?? In der Aufgabe oben, haben wir doch auch einfach
> gleich die Produktdichte gebildet, wieso geht das hier
> nicht, und man muss erst die Produktverteilung bilden??
Tja, die Zufallsvariablen max(X,Y) und (X,Y) gehen nun mal auf unterschiedliche Weise aus X und Y hervor. Da braucht man halt dann auch verschiedene Verfahren zur Berechnung der Verteilungen.
> 2) Wieder: oben haben wir bei der Berechnung der
> gemeinsamen Dichte zwei Variablen gehabt, [mm]f(x,y)=\lambda^2 e^{-2\lambda(x+y)},[/mm]
> d.h. die Dichte ist abhängig von x und y. Wieso hängt
> aber die Dichte von max(X,Y) nur von x ab? oder haben wir
> es falsch gemacht, und es hätte auch hier bei der
> Berechnung der Produktverteilung [mm]F_{max(X,Y)}(x,y) =(1-e^{-\lambda*x})*(1-e^{-\lambda*y})[/mm]
> heißen müssen???
(X,Y) ist eine Zufallsvariable mit Werten in [mm] $\IR^2$, [/mm] max(X,Y) ist eine Zufallsgröße mit Werten in [mm] $\IR$. [/mm] Also sind Dichten von (X,Y) auf [mm] $\IR^2$ [/mm] definierte Funktionen und Dichten von max(X,Y) auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert (genauer gesagt: jeweils auf Teilmengen davon definiert).
> 3) Und dann noch meine letzte frage, muss man hier die
> Dichte nicht auch wieder mit der Indikatorfkt.
> multiplizieren? d.h. mit [mm]1I_{[0,\infty)}(x)???[/mm]
S.o.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Mo 15.02.2010 | | Autor: | jaruleking |
Danke für die Erläuterungen.
Grüße
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