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Hallo, habe hier so eine Probeklausur im Internet gefunden, bin mir bei meinen Antworten nicht so sicher, wäre deswegen nett, wenn das jemand mal auf Richtigkeit überprüfen kann.
Mehrere Antworten können richtig sein
Aufg. 1
Die quadratischen Formen [1,1,-1-1] und [1,-2,1-2] sind äquivalent
a) über [mm] \IQ [/mm]
b) über [mm] \IR [/mm]
c) über [mm] \IC
[/mm]
denke b), weiß aber gar nicht genau, was die hier meinen.
Aufg. 2
Das Lebesgue-Integral [mm] \integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx} [/mm] definiert
a) eine positiv definite Bilinearform auf [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm]
b) ein Skalarprodukt auf [mm] C^{\infty}([0,1])
[/mm]
c) eine symmetrische Bilinearform auf [mm] C^{\infty}([0,1])
[/mm]
d) ein Skalarprodukt auf [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm]
denke a) und d) stimmen. bei b) und c) irritiert mich dieses unendlich, wenn das da nicht stehen würde, würde ich alle 4 Antworten für richtig halten, so nur a) und d)
Aufg. 3
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
a) Jede symmetrische Matrix über [mm] \IR [/mm] ist diagonalisierbar
b) Jede symmetrische Matrix über [mm] \IC [/mm] ist diagonalisierbar
c) Jede symmetrische Matrix über [mm] \IC [/mm] ist selbstadjungiert
d) Jede normale Matrix über [mm] \IC [/mm] ist symmetrisch
e) Jede Matrix über [mm] \IC [/mm] mit reelen Eigenwerten ist symmetrisch
denke, dass nur b) richtig ist, kann das sein?
Aufga. 4
Sei V ein K-VR. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
a) dim V = dim [mm] V^{\*}
[/mm]
b) Ist V endlich dimensional, dann ist V kanonisch isomorph zu [mm] V^{\*}
[/mm]
c) Ist V endlich dimensional, dann ist V kanonisch isomorph zu [mm] V^{\*\*}
[/mm]
d) Es gibt eine kanonische surjektive Abbildung V [mm] \to V^{\*\*}
[/mm]
denke, dass hier alle 4 Anworten richtig sind. Also a)-d)
Aufga. 5
Seien V,W VR über K und h [mm] \in Hom_K(V,W). h^{\*} [/mm] bezeichne die transponierte Abbildung. Dann gilt:
a) [mm] h^{\*} \in Hom_K(W^{\*},V^{\*})
[/mm]
b) [mm] h^{\*} \in Hom_K(V^{\*},W^{\*})
[/mm]
c) [mm] (h^{\*})^{\*} \in Hom_K(V^{\*\*},W^{\*\*})
[/mm]
d) Ist A die Abbildungsmatrix von h in Bezug auf die Basen [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2, [/mm] so ist A auch die Abbildungsmatrix von h in Bezug auf die Dualbasis von [mm] B_2 [/mm] und [mm] B_1.
[/mm]
denke, dass b), c) und d) richtig sind.
Aufg. 6
Sei (V,<,>) ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum und ferner f [mm] \in [/mm] End(V) selbstadjungiert. Dann gilt:
a) f ist normal
b) Für alle v,w [mm] \in [/mm] V gilt <f(v),f(w)>=<v,w>
c) Für alle [mm] \lambda \in [/mm] Spec(f) gilt [mm] |\lambda|=1
[/mm]
d) Für alle [mm] \lambda \in [/mm] Spec(f) gilt [mm] \lambda \IR
[/mm]
Hier kenn ich einige Ausdrücke nicht, wisst hier was die mit normal und Speck meinen?? Von daher kann ich nur sagen, das b) falsch ist. zu den anderen kann ich leider nichts sagen.
Aufg. 7
Gegeben sei die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 }. [/mm] Welche der folgenden Aussagen trifft zu?
a) A ist eine positive Matrix
b) A ist positiv definit
c) A ist negativ definit
d) A ist indefinit
e) A ist positiv semidefinit
Was bedeutet, A ist eine positive Matrix?
Außerdem habe ich als quar. Polynom [mm] -x^3+3x^2-2x [/mm] erhalten und damit die EW 0, 1 und 2.
Aufgrund der EW würde ich sagen, dass die Matrix semidefinit ist, weil 0 auch EW ist, also e).
So ich glaube, diese Aufgaben reichen erstmal. Die anderen Fragen werde ich dann später posten. Hoffe Ihr könnt mir bei den Lösungen helfen.
Danke und Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 So 20.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo, habe hier so eine Probeklausur im Internet gefunden,
> bin mir bei meinen Antworten nicht so sicher, wäre deswegen
> nett, wenn das jemand mal auf Richtigkeit überprüfen kann.
>
>
> Mehrere Antworten können richtig sein
>
> Aufg. 1
> Die quadratischen Formen [1,1,-1-1] und [1,-2,1-2] sind
> äquivalent
> a) über [mm]\IQ[/mm]
> b) über [mm]\IR[/mm]
> c) über [mm]\IC[/mm]
>
> denke b), weiß aber gar nicht genau, was die hier meinen.
Ich verstehe diese Schreibweise nicht.... "[1,1,-1-1]" - was ist damit gemeint?
>
> Aufg. 2
> Das Lebesgue-Integral [mm]\integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx}[/mm]
> definiert
> a) eine positiv definite Bilinearform auf [mm]Abb(\IR,\IR)[/mm]
> b) ein Skalarprodukt auf [mm]C^{\infty}([0,1])[/mm]
> c) eine symmetrische Bilinearform auf [mm]C^{\infty}([0,1])[/mm]
> d) ein Skalarprodukt auf [mm]Abb(\IR,\IR)[/mm]
>
> denke a) und d) stimmen. bei b) und c) irritiert mich
> dieses unendlich, wenn das da nicht stehen würde, würde ich
> alle 4 Antworten für richtig halten, so nur a) und d)
>
Hier hast du es genau falsch rum gemacht. Nicht alle Funktionen aus [mm]Abb(\IR,\IR)[/mm] sind lebesgue-integrierbar. Aber alle unendlich-oft differenzierbaren Funktionen sind es (schon Stetigkeit reicht ja aus für die Integrierbarkeit).
> Aufg. 3
> Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
>
> a) Jede symmetrische Matrix über [mm]\IR[/mm] ist diagonalisierbar
> b) Jede symmetrische Matrix über [mm]\IC[/mm] ist diagonalisierbar
> c) Jede symmetrische Matrix über [mm]\IC[/mm] ist selbstadjungiert
> d) Jede normale Matrix über [mm]\IC[/mm] ist symmetrisch
> e) Jede Matrix über [mm]\IC[/mm] mit reelen Eigenwerten ist
> symmetrisch
>
> denke, dass nur b) richtig ist, kann das sein?
a) ist auch richtig.
Bei c) kommt es drauf an, ob man einen euklidischen oder unitären VR hat. Im ersten Fall ist es richtig. Im zweiten Fall nicht.
>
> Aufga. 4
> Sei V ein K-VR. Welche der folgenden Aussagen sind
> richtig?
>
> a) dim V = dim [mm]V^{\*}[/mm]
> b) Ist V endlich dimensional, dann ist V kanonisch
> isomorph zu [mm]V^{\*}[/mm]
> c) Ist V endlich dimensional, dann ist V kanonisch
> isomorph zu [mm]V^{\*\*}[/mm]
> d) Es gibt eine kanonische surjektive Abbildung V [mm]\to V^{\*\*}[/mm]
>
> denke, dass hier alle 4 Anworten richtig sind. Also a)-d)
a) würde ich erstmal nur im endlich-dimensionalen so unterschreiben. Im unendlich-dimensionalen kenn' ich mich nicht so gut aus.
b) ist falsch, denn (im endlich-dimensionalen) ist [mm] V^{\*} [/mm] zwar isomorph zu V (da gleiche Dimension), aber nicht kanonisch, d.h. man kann keinen Basisunabhängigen Isomorphismus angeben. Bei c) ist dies aber möglich, deswegen ist c) richtig.
d) folgt im endlich-dimensionalen aus c), im endlich-dimensionalen weiss ich es nicht.
>
> Aufga. 5
> Seien V,W VR über K und h [mm]\in Hom_K(V,W). h^{\*}[/mm] bezeichne
> die transponierte Abbildung. Dann gilt:
>
> a) [mm]h^{\*} \in Hom_K(W^{\*},V^{\*})[/mm]
> b) [mm]h^{\*} \in Hom_K(V^{\*},W^{\*})[/mm]
>
> c) [mm](h^{\*})^{\*} \in Hom_K(V^{\*\*},W^{\*\*})[/mm]
> d) Ist A die
> Abbildungsmatrix von h in Bezug auf die Basen [mm]B_1[/mm] und [mm]B_2,[/mm]
> so ist A auch die Abbildungsmatrix von h in Bezug auf die
> Dualbasis von [mm]B_2[/mm] und [mm]B_1.[/mm]
>
> denke, dass b), c) und d) richtig sind.
a) ist richtig.
b) falsch.
c) ist richtig.
d) hier müsste man noch genauer schreiben, zu welchen Räumen die Basen gehören. Aber es ist trotzdem falsch, denn die Matrix A muss transponiert werden.
>
> Aufg. 6
> Sei (V,<,>) ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum und
> ferner f [mm]\in[/mm] End(V) selbstadjungiert. Dann gilt:
>
> a) f ist normal
> b) Für alle v,w [mm]\in[/mm] V gilt <f(v),f(w)>=<v,w>
> c) Für alle [mm]\lambda \in[/mm] Spec(f) gilt [mm]|\lambda|=1[/mm]
> d) Für alle [mm]\lambda \in[/mm] Spec(f) gilt [mm]\lambda \IR[/mm]
>
> Hier kenn ich einige Ausdrücke nicht, wisst hier was die
> mit normal und Speck meinen?? Von daher kann ich nur sagen,
> das b) falsch ist. zu den anderen kann ich leider nichts
> sagen.
Normal bedeutet, dass die Matrix mit ihrer konjugiert-transponierten Matrix kommutiert, also ich a) richtig.
Spec steht für Spektrum, also die Menge der Eigenwerte.
c) ist falsch. d) weiss ich grad nicht.
>
> Aufg. 7
> Gegeben sei die Matrix [mm]A=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 }.[/mm]
> Welche der folgenden Aussagen trifft zu?
>
> a) A ist eine positive Matrix
> b) A ist positiv definit
> c) A ist negativ definit
> d) A ist indefinit
> e) A ist positiv semidefinit
>
> Was bedeutet, A ist eine positive Matrix?
> Außerdem habe ich als quar. Polynom [mm]-x^3+3x^2-2x[/mm] erhalten
> und damit die EW 0, 1 und 2.
> Aufgrund der EW würde ich sagen, dass die Matrix
> semidefinit ist, weil 0 auch EW ist, also e).
>
Den Begriff "positive Matrix" kenn ich auch nicht.
Wenn die EW stimmen (hab sie nicht nachgerechnet), dann ist e) richtig.
>
> So ich glaube, diese Aufgaben reichen erstmal. Die anderen
> Fragen werde ich dann später posten. Hoffe Ihr könnt mir
> bei den Lösungen helfen.
>
> Danke und Gruß
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Hi, danke für die super Erklärungen.
Dennoch paar kurze Anmerkungen.
Bei Aufg. 1 wusste ich auch nicht was die meinen. Kann es sein, dass die [1,1,-1-1] z.B. eine 4x4 Diagonalmatrix meinen mit diesen Einträgen auf der Diagonalen, würde das Sinn ergeben???
Bei Aufg. 2 sagst du also, b) und c) sind richtig? a) und d) gehen nicht, weil die mit [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm] alle Abbildungen in [mm] \IR [/mm] meinen und diese ja nicht alle stetig sein müssen?
Bei Aufg. 3 c), kann es sein, dass du es da genau verkehrrum gesagt hast??
> Bei c) kommt es drauf an, ob man einen euklidischen oder unitären VR hat. Im ersten Fall ist es richtig. Im zweiten Fall nicht.
Weil [mm] \IC [/mm] macht doch nur im unitären Sinn, oder?
Bei Aufg. 6, das hier: c) Für alle $ [mm] \lambda \in [/mm] $ Spec(f) gilt $ [mm] |\lambda|=1 [/mm] $ , dass gilt nur bei Isometrien oder sonst wo auch noch?
Danke für Anworten.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hi, danke für die super Erklärungen.
>
> Dennoch paar kurze Anmerkungen.
>
>
> Bei Aufg. 1 wusste ich auch nicht was die meinen. Kann es
> sein, dass die [1,1,-1-1] z.B. eine 4x4 Diagonalmatrix
> meinen mit diesen Einträgen auf der Diagonalen, würde das
> Sinn ergeben???
>
Keine Ahnung... kann ich dir echt nicht sagen.
>
> Bei Aufg. 2 sagst du also, b) und c) sind richtig? a) und
> d) gehen nicht, weil die mit [mm]Abb(\IR,\IR)[/mm] alle Abbildungen
> in [mm]\IR[/mm] meinen und diese ja nicht alle stetig sein müssen?
>
Jepp.
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> Bei Aufg. 3 c), kann es sein, dass du es da genau
> verkehrrum gesagt hast??
> > Bei c) kommt es drauf an, ob man einen euklidischen oder
> unitären VR hat. Im ersten Fall ist es richtig. Im zweiten
> Fall nicht.
>
> Weil [mm]\IC[/mm] macht doch nur im unitären Sinn, oder?
Im euklidischen Raum hat man eine Bilinearform, deswegen sind selbstadjungierte Matrizen symmetrisch. Im unitären Raum hat man eine Sesquilinearform, deswegen sind hier die selbstadjungierten Matrizen hermitsch.
Da in der Aufgabe Matrizen über [mm] \IC [/mm] betrachtet werden, fallen die beiden Begriffe "symmetrisch" und "hermitsch" nicht zusammen, wie bei reellen Matrizen.
>
>
> Bei Aufg. 6, das hier: c) Für alle [mm]\lambda \in[/mm] Spec(f) gilt
> [mm]|\lambda|=1[/mm] , dass gilt nur bei Isometrien oder sonst wo
> auch noch?
>
Hier wird nicht davon ausgegangen, dass die Matrix diagonalisierbar ist, d.h. wenn sie nur einen einzigen Eigenwert hat, dann kann diese Aussage auch stimmen, obwohl die Matrix eben als Ganzes nicht diagonalisierbar ist.
Aber allg. kann man sagen, dass es für alle orthogonalen/unitären Matrizen gilt.
>
> Danke für Anworten.
> Gruß
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Hi, So dann kommen wir jetzt zum zweiten Teil, der Aufgaben  :
Aufg. 8
Sei [mm] A=(a_{ij})\in M_n(\IR) [/mm] symmetrisch und [mm] A_k\pmat{ a_{11} & ... & a_{1k} \\ ... & ... & ... \\ a_{k1} & ... & a_{kk} }. [/mm] WElche der folgenden Aussagen sind richtig?
a) A ist positiv definit, falls det A >0 gilt
b) A positiv definit [mm] \gdw [/mm] det [mm] A_k [/mm] >0 für alle k.
c) A negativ definit [mm] \gdw [/mm] det [mm] A_k [/mm] <0 für alle k.
d) Gilt [mm] a_{ij}>0 [/mm] für alle i,j, so ist A positiv semidefinit.
hier denke ich, dass nur b) richtig ist. bei c) gibt es ja so ne geschichte, dass die geraden Hauptminoren positv sein müssen, und die ungeraden negativ, damit die Matrix negativ definit ist. hoffe ich habe es jetzt nicht verwechselt. und bei a) ich denke nur die det reicht nicht aus, es müssen schon alle Hauptminoren betrachtet werden. und d) ist falsch, denn man spricht doch nur von semidefinitheit, wenn die 0 mit dabei ist.
Aufga. 9
Sei V ein endlich dimensionaler VR und [mm] (a_i)_i \le [/mm] n sowie [mm] (b_i)_i \le [/mm] n Basen von V. Dann gilt:
a) Die duale Basis [mm] (a_i^{\*})_i \le [/mm] n von [mm] V^{\*} [/mm] ist gegeben durch [mm] a_i^{\*}(a_j)=ij.
[/mm]
b) Die duale Basis [mm] (a_i^{\*})_i \le [/mm] n von [mm] V^{\*} [/mm] ist gegeben durch [mm] a_i^{\*}(a_j)=0 [/mm] für i [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] a_i^{\*}(a_j)=1 [/mm] für alle i.
c) Gilt [mm] a_1=b_1, [/mm] so ist auch [mm] a_1^{\*}=b_1^{\*}
[/mm]
Denke, dass a) und b) richtig sind, wenn ich das so noch richtig in Erinnerung habe.
Aufg. 10
Sei (V,<,>) ein endlich dimensionaler unitärer VR. Für die Abbildung j: V [mm] \to V^{\*}, [/mm] v [mm] \mapsto [/mm] <.,v> gilt dann:
a) j ist [mm] \IC-linear
[/mm]
b) j ist konjugiert linear
d) Für jede Orthonormalbasis [mm] (a_i)_i \le [/mm] n von V und ihre duale Baisis [mm] (a_i^{\*})_i \le [/mm] n gilt [mm] j(a_i)=a_i^{\*}
[/mm]
hier denke ich, dass alle drei richtig sind??
Aufg. 11
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
a) Durch [mm] :=\integral_{0}^{1}{(f(x)+g(x)) dx} [/mm] wird ein Skalarprodukt auf [mm] C(\IR) [/mm] definiert.
b) Durch [mm] \beta*(f,g):=f(1)*g(1) [/mm] wird eine positiv definite symmetrische Bilinearform auf [mm] C(\IR) [/mm] definiert.
c) Durch [mm] \beta*(f,g):=f(1)*g(1) [/mm] wird eine positiv semidefinite symmetrische Bilinearform auf [mm] C(\IR) [/mm] definiert.
Also hier weiß ich ehrlich gesagt gerade nicht, was mit [mm] C(\IR) [/mm] gemeint ist?. Dennoch würde ich sagen, dass a) richtig ist, weil da die Skalarprodukteigenschaften gelten. bei den anderen weiß ichs nicht.
Aufg. 12
Es sei (V,<,>) ein euklidischer oder unitärer VR und [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] eine ONB von V. Dann gilt:
a) Für alle x [mm] \in [/mm] V ist x= [mm] \summe_{i=1}^{n}v_i
[/mm]
b) Für alle x [mm] \in [/mm] V ist ||x||= [mm] \summe_{i=1}^{n}||
[/mm]
d) Ist [mm] =0 [/mm] für alle [mm] i\not=i_0, [/mm] so ist [mm] x=v_{i_0}
[/mm]
Hier denke ich, dass nur a) richtig ist.
Aufg. 13
Welche der folgenden Matrizen sind über [mm] \IR [/mm] diagonalisierbar?
a) [mm] \pmat{ 2 & 3 & 4 \\ 3 & -1 & 0 \\ 4 & 0 & \wurzel{2} }
[/mm]
b) [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 9 & 4 & 0 \\ -19 & 3 & 7 }
[/mm]
c) [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \pi }
[/mm]
Wie würdet ihr an so eine Aufg. rangehen, um es schnellstmöglichst zu lösen? Über char. Polynom und so ist doch zu aufwendig oder?
aber ich bekomme eh raus, dass alle diagonalisierbar sind. b) ist ja schon in ZSF und hat vollen Rang, c) ist schon diagonal und bei a) habe ich auch rausbekommen, dass die Matrix vollen Rang hat.
Also sind a)-c) diagonalisierbar? oder zählt nur der Rang nicht?
Aufg. 14
Sei U [mm] \in U(n,\IC) [/mm] eine unitäre Matrix. Dann gilt:
a) det U=1
b) Die Spaltenvektoren von U bilden eine ONB von [mm] \IC^n
[/mm]
c) -1,1,i,-i sind die einzig möglichen EW von U.
denke dass nur b) richtig ist. a) geht nicht, weil die det auch -1 sein kann, z.B. bei Spiegelung. und c) ist auch falsch, es gilt nämlich nur Betrag von Lamda ist 1.
Aufg. 15
Seien A,B,C [mm] \in M_n(\IR). [/mm] Ferner gelte B=p(A) und C=q(A) für Polynome p,q [mm] \in \IR[x]. [/mm] Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
a) Spec(B)=Spec(C)
b) BC=CB
c) Rang(B)=Rang(C)
Hier bin ich mir ehrlich gesagt nicht sicher, würde aber auf b) tippen.
Aufg. 16
Sei A [mm] \in M_n(\IR) [/mm] symmetrisch und positiv definit. Dann gilt:
a) det(A)>0
b) Es existiert ein B [mm] \in M_n(\IR) [/mm] mit A=^tBB
c) ^txAy>0 für alle x,y [mm] \in \IR^n
[/mm]
Hier müsste a) und c) richtig sein. Warum die ihr Transponiert vor dem Buchstaben schreiben weiß ich auch nicht, seh ich zum ersten mal.
So, wäre super, wenn mir wieder jemand bei den Lösungen helfen könnte. Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hi, So dann kommen wir jetzt zum zweiten Teil, der Aufgaben
> :
>
> Aufg. 8
>
> Sei [mm]A=(a_{ij})\in M_n(\IR)[/mm] symmetrisch und [mm]A_k\pmat{ a_{11} & ... & a_{1k} \\ ... & ... & ... \\ a_{k1} & ... & a_{kk} }.[/mm]
> WElche der folgenden Aussagen sind richtig?
>
> a) A ist positiv definit, falls det A >0 gilt
> b) A positiv definit [mm]\gdw[/mm] det [mm]A_k[/mm] >0 für alle k.
> c) A negativ definit [mm]\gdw[/mm] det [mm]A_k[/mm] <0 für alle k.
> d) Gilt [mm]a_{ij}>0[/mm] für alle i,j, so ist A positiv
> semidefinit.
>
> hier denke ich, dass nur b) richtig ist. bei c) gibt es ja
> so ne geschichte, dass die geraden Hauptminoren positv sein
> müssen, und die ungeraden negativ, damit die Matrix negativ
> definit ist. hoffe ich habe es jetzt nicht verwechselt. und
> bei a) ich denke nur die det reicht nicht aus, es müssen
> schon alle Hauptminoren betrachtet werden. und d) ist
> falsch, denn man spricht doch nur von semidefinitheit, wenn
> die 0 mit dabei ist.
>
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>
> Aufga. 9
>
> Sei V ein endlich dimensionaler VR und [mm](a_i)_i \le[/mm] n sowie
> [mm](b_i)_i \le[/mm] n Basen von V. Dann gilt:
>
> a) Die duale Basis [mm](a_i^{\*})_i \le[/mm] n von [mm]V^{\*}[/mm] ist
> gegeben durch [mm]a_i^{\*}(a_j)=ij.[/mm]
> b) Die duale Basis [mm](a_i^{\*})_i \le[/mm] n von [mm]V^{\*}[/mm] ist
> gegeben durch [mm]a_i^{\*}(a_j)=0[/mm] für i [mm]\not=[/mm] 0 und
> [mm]a_i^{\*}(a_j)=1[/mm] für alle i.
> c) Gilt [mm]a_1=b_1,[/mm] so ist auch [mm]a_1^{\*}=b_1^{\*}[/mm]
>
> Denke, dass a) und b) richtig sind, wenn ich das so noch
> richtig in Erinnerung habe.
>
a) und b) sind doch zwei verschiedene Sachen, die können doch niemals gleichzeitig gelten. b) ist richtig. c) auch (folgt aus b)).
>
> Aufg. 10
>
> Sei (V,<,>) ein endlich dimensionaler unitärer VR. Für die
> Abbildung j: V [mm]\to V^{\*},[/mm] v [mm]\mapsto[/mm] <.,v> gilt dann:
>
> a) j ist [mm]\IC-linear[/mm]
> b) j ist konjugiert linear
> d) Für jede Orthonormalbasis [mm](a_i)_i \le[/mm] n von V und ihre
> duale Baisis [mm](a_i^{\*})_i \le[/mm] n gilt [mm]j(a_i)=a_i^{\*}[/mm]
>
> hier denke ich, dass alle drei richtig sind??
Wenn hierbei die hermitsche Form im ersten linear und im zweiten semi-linear ist, dann ist a) richtig und b) falsch. c) müsste richtig sein.
>
>
> Aufg. 11
>
> Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
>
> a) Durch [mm]:=\integral_{0}^{1}{(f(x)+g(x)) dx}[/mm] wird ein
> Skalarprodukt auf [mm]C(\IR)[/mm] definiert.
> b) Durch [mm]\beta*(f,g):=f(1)*g(1)[/mm] wird eine positiv definite
> symmetrische Bilinearform auf [mm]C(\IR)[/mm] definiert.
> c) Durch [mm]\beta*(f,g):=f(1)*g(1)[/mm] wird eine positiv
> semidefinite symmetrische Bilinearform auf [mm]C(\IR)[/mm]
> definiert.
>
> Also hier weiß ich ehrlich gesagt gerade nicht, was mit
> [mm]C(\IR)[/mm] gemeint ist?. Dennoch würde ich sagen, dass a)
> richtig ist, weil da die Skalarprodukteigenschaften gelten.
> bei den anderen weiß ichs nicht.
>
[mm] C(\IR) [/mm] ist wohl der Raum aller stetigen Funktionen auf [mm] \IR.
[/mm]
Bei a) gelten die Skalarprodukteigenschaften -nicht-. Es ist nicht linear.
c) ist richtig. b) falsch.
>
> Aufg. 12
>
> Es sei (V,<,>) ein euklidischer oder unitärer VR und
> [mm](v_1,...,v_n)[/mm] eine ONB von V. Dann gilt:
>
> a) Für alle x [mm]\in[/mm] V ist x= [mm]\summe_{i=1}^{n}v_i[/mm]
> b) Für alle x [mm]\in[/mm] V ist ||x||= [mm]\summe_{i=1}^{n}||[/mm]
> d) Ist [mm]=0[/mm] für alle [mm]i\not=i_0,[/mm] so ist [mm]x=v_{i_0}[/mm]
>
> Hier denke ich, dass nur a) richtig ist.
>
Jepp.
>
> Aufg. 13
>
> Welche der folgenden Matrizen sind über [mm]\IR[/mm]
> diagonalisierbar?
>
> a) [mm]\pmat{ 2 & 3 & 4 \\ 3 & -1 & 0 \\ 4 & 0 & \wurzel{2} }[/mm]
>
> b) [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 9 & 4 & 0 \\ -19 & 3 & 7 }[/mm]
> c)
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \pi }[/mm]
>
> Wie würdet ihr an so eine Aufg. rangehen, um es
> schnellstmöglichst zu lösen? Über char. Polynom und so ist
> doch zu aufwendig oder?
>
> aber ich bekomme eh raus, dass alle diagonalisierbar sind.
> b) ist ja schon in ZSF und hat vollen Rang, c) ist schon
> diagonal und bei a) habe ich auch rausbekommen, dass die
> Matrix vollen Rang hat.
> Also sind a)-c) diagonalisierbar? oder zählt nur der Rang
> nicht?
Der Rang mach recht wenig Aussage über die Diagonalisierbarkeit. Wenn der Rang nicht voll ist, dann hat die Matrix auf jeden Fall den EW Null.
a) ist symmetrisch, also diagonalisierbar (hatten wir doch bei den vorherigen Fragen.... hast du dir das etwa nicht gemerkt? Wozu antworte ich dann hier?)
Bei b) würd ich sagen, dass das charakteristische Polynom gleich (1-X)(4-X)(7-X) ist, also drei Nullstellen hat, also drei Eigenvektoren existieren, und weil die Matrix nur [mm]3\times 3[/mm] ist, ist die diagonalisierbar.
Bei c) analog.
>
>
> Aufg. 14
>
> Sei U [mm]\in U(n,\IC)[/mm] eine unitäre Matrix. Dann gilt:
>
> a) det U=1
> b) Die Spaltenvektoren von U bilden eine ONB von [mm]\IC^n[/mm]
> c) -1,1,i,-i sind die einzig möglichen EW von U.
>
> denke dass nur b) richtig ist. a) geht nicht, weil die det
> auch -1 sein kann, z.B. bei Spiegelung. und c) ist auch
> falsch, es gilt nämlich nur Betrag von Lamda ist 1.
>
Jepp.
>
> Aufg. 15
>
> Seien A,B,C [mm]\in M_n(\IR).[/mm] Ferner gelte B=p(A) und C=q(A)
> für Polynome p,q [mm]\in \IR[x].[/mm] Welche der folgenden Aussagen
> sind richtig?
>
> a) Spec(B)=Spec(C)
> b) BC=CB
> c) Rang(B)=Rang(C)
>
> Hier bin ich mir ehrlich gesagt nicht sicher, würde aber
> auf b) tippen.
>
Würd ich auch sagen.
>
> Aufg. 16
>
> Sei A [mm]\in M_n(\IR)[/mm] symmetrisch und positiv definit. Dann
> gilt:
>
> a) det(A)>0
> b) Es existiert ein B [mm]\in M_n(\IR)[/mm] mit A=^tBB
> c) ^txAy>0 für alle x,y [mm]\in \IR^n[/mm]
>
> Hier müsste a) und c) richtig sein. Warum die ihr
> Transponiert vor dem Buchstaben schreiben weiß ich auch
> nicht, seh ich zum ersten mal.
>
Wir haben das auch so geschrieben (kommt von dem LinAlg Buch vom Fischer).
c) ist falsch. Das triviale Gegenbsp. wäre x,y=0.
Zu b) kann ich nix sagen, könnte aber richtig sein (siehe Link oben zur Definitheit - da steht so was in die Richtung).
>
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> So, wäre super, wenn mir wieder jemand bei den Lösungen
> helfen könnte. Gruß
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Hi, nochmal.
also nachdem ich bei Wiki das nachgelesen habe, finde ich, dass ich bei Aufg. 8 richtig liege und nur b) richtig ist.
bei Aufg. 13, ja hast wirklich recht. bei manchen Aufgaben muss man echt konzentrierter sein, sorry.
bei Aufg. 16 b), bin ich mir nicht so sicher, ob die bei Wiki das gleiche meinen, denn dort steht:
Eine symmetrische nXn-Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn es eine Cholesky-Zerlegung gibt mit A = [mm] GG^t, [/mm] und dabei ist G eine untere Dreiecksmatrix.
So jetzt die Frage, in der Aufgabe steht b) Es existiert ein B [mm] \in M_n(\IR) [/mm] mit A=^tBB. 1. Wird hier nicht gesagt, dass B eine untere Dreiecksmatrix sein muss und 2. haben die es hier ja genau verkehrt rum, das ist ja eigentlich nicht egal oder, da ja Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, also [mm] ^tAA\not=AA^t, [/mm] oder sehe ich das mit der Multiplikation hier falsch?
demnach würde ich sagen, dass b) auch falsch ist.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Mo 21.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu Aufg. 16:
Setze doch B = [mm] G^t
[/mm]
FRED
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Hi, nochmal ein paar andere Frage:
Wenn ich eine Quadrik habe im [mm] \IR^2. [/mm] Dann schreibe ich diese Quadrik ja erst in Matrixschreibweise usw.
So,wenn dann die symmetrische Matrix nicht vollen Rang hat, sprich ein EW ist 0. Kann ich dann sofort die Fälle Ellipse und Hyperbel ausschließen??
Und was muss man dazu noch wissen, wenn die Matrix nicht vollen Rang hat?
Das mit der Erklärung war doch richtig, bei nicht vollem Rang ist 0 EW der Matrix oder?
Und meine andere Frage, was kann man zu symmetrischen und schiefsymmetrischen Matrizen in Bezug auf Nilpotent oder Unipotent sagen? Oder gibts da nichts besonderes zu sagen?
Habs mir solche Fragen gestellt: sind symmetrische Matrizen überhaupt Nilpotent, müssen die es sein oder sind sie es nie? das gleiche für schiefsymmtrische. Habe aber leider keine passande Antwort gefunden, weil wir in unserem Skript auch nichts dazu haben.
Viellicht kann das ja jemand erklären.
Dank und Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Fr 25.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu sym. und schiefsym. Matrizen:
Sei A sym. oder schiefsym., dann ist A diagonalisierbar, also ähnlich zu einer Diagonalmatrix D .
Ist nun A auch noch nilpotent, so hat A nur den Eigenwert 0, somit hat D auch nur den Eigenwert 0, ist also die Nullmatrix. Damit ist A = 0.
Fazit: eine sym. oder schiefsym. Matrix A ist genau dann nilpotent, wenn A = 0.
FRED
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Aber das andere war doch auch richtig oder, wenn eine Matrix nicht vollen Rang hat, dann ist 0 ein EW, aber nicht zwingend der Einzige???
Und kannst du in Bezug auf die Quadrik-frage nichts sagen?
Gruß
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> wenn eine
> Matrix nicht vollen Rang hat, dann ist 0 ein EW, aber nicht
> zwingend der Einzige???
Hallo,
ja, wenn sie nicht vollen Rang hat, gibt es ja einen von Null verschiedenen Vektor, der auf die Null abgebildet wird.
Gruß v. Angela
>
> Und kannst du in Bezug auf die Quadrik-frage nichts sagen?
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 27.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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