Frage zu meinem Beweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | | [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{k=1}^{n}k^3=[/mm] [mm]\left(\summe_{k=1}^{n}k\right)^2[/mm] |
Hallo,
ich hab ne kurze Frage zu meiner Beweisführung.
Induktionsanfang und Vorraussetzung sind klar.
Induktionsschritt: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^3= \summe_{k=1}^{n}k^3 [/mm] + [mm] \summe_{k=n+1}^{n+1}k^3 [/mm] nutzt man jetzt die Induktiuonsvoraussetzung kommt man auf:
= [mm]\left(\summe_{k=1}^{n}k\right)^2[/mm] + [mm] (n+1)^3
[/mm]
An der Stelle komme ich so nicht weiter.
Ich habe jetzt die gaußsche Summenformel auf die Aufgabenstellung angewand (http://de.wikipedia.org/wiki/Gaußsche_Summenformel), sodass da steht:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^3=[/mm] [mm] \left(\bruch{n(n+1)}{2}\right)^2[/mm]
Damit komme ich auch prima zum Ergebnis, nur weiß ich nicht, ob ich die Aufgabenstellung auhc so umschreiben darf.
Wenn nicht, hat wer Tipps, wie ich sonst weiterkomme?
Gruß,
sup
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
falls ihr [mm] \summe_{k=1}^{n}k=n*(n+1)/2 [/mm] schon gezeigt habt , kannst dus verwenden, sonst musst du das rasch mit induktion zeigen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sup |
Ähm srry, aber mit deiner Antwort kann ich nichts anfangen^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry, der Mittelteil ist auf geheimnisvolle Weise verschwunden. Ich habs jetzt editiert und es sollt lesbar sein.
gruss leduart
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> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]\summe_{k=1}^{n}k^3=[/mm] [mm]\left(\summe_{k=1}^{n}k\right)^2[/mm]
> Hallo,
> ich hab ne kurze Frage zu meiner Beweisführung.
>
> Induktionsanfang und Vorraussetzung sind klar.
>
> Induktionsschritt: n [mm]\to[/mm] n+1
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k^3= \summe_{k=1}^{n}k^3[/mm] +
> [mm]\summe_{k=n+1}^{n+1}k^3[/mm] nutzt man jetzt die
> Induktiuonsvoraussetzung kommt man auf:
> = [mm]\left(\summe_{k=1}^{n}k\right)^2[/mm] + [mm](n+1)^3[/mm]
>
> An der Stelle komme ich so nicht weiter.
Hallo,
ich würde aus der anderen Richtung beginnen:
[mm] $\left(\summe_{k=1}^{n+1}k\right)^2$=$\left(\summe_{k=1}^{n}k+(n+1)\right)^2$= [/mm] binomische Formel und dann [mm] \summe_{k=1}^{n}k=\bruch{n(n+1}{2} [/mm] verwenden.
>
> Ich habe jetzt die gaußsche Summenformel auf die
> Aufgabenstellung angewand
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Gaußsche_Summenformel),
> sodass da steht:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k^3=[/mm] [mm]\left(\bruch{n(n+1)}{2}\right)^2[/mm]
Wenn sie dran war, darfst Du sie verwenden, sonst nicht.
> Damit komme ich auch prima zum Ergebnis, nur weiß ich
> nicht, ob ich die Aufgabenstellung auhc so umschreiben
> darf.
> Wenn nicht, hat wer Tipps, wie ich sonst weiterkomme?
Ein Weg ohne fällt mir spontan nicht ein.
Wenn die Formel nicht dran war, beweise sie halt. Das ist sehr einfach.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sup |
Tatsächlich, wir haben sie am Rande einer Übung schon bewiesen, Hatte ich vollkommen vergessen.
Danke für eure Bemühungen
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