Frage zu Vektorenschreibweise < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
mit der Aufgabenstellung komme ich gerade zurecht, nur weiss ich nicht, ob das wie ich es aufschreibe so vertretbar ist.
Ich mache gerade ein wenig Gram-Schmidt-Verfahren zum finden einer Orthonormalbasis.
Einmal schreibe ich die Vektoren so: [mm] \vektor{x \\ y \\z}[/mm] und dann wenn es mir in der Rechnung besser passt, wegen einem Bruchstrich z.b. so: (x,y,z).
Meine Frage ist: Kann ich das beides in einer Rechnung so verwenden, bzw sind die beiden überhaupt gleichbedeutend? In meinen Unterlagen kann ich hierzu gerade nichts finden.
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
(x,y,z) sind die Elemente des [mm] \IR^3 [/mm] .
Dagegen ist $ [mm] v=\vektor{x \\ y \\z} [/mm] $ ein Vektor, der die Koordinaten bezüglich einer Basis [mm] \mathcal{B}=(b_1,b_2,b_3) [/mm] des zugrundeliegenden Vektorraumes V enthält, also eine Kurzschreibweise für [mm] v=x*b_1+y*b_2+z*b_3.
[/mm]
(Hierbei muss der Vektorraum V nicht der [mm] \IR^3 [/mm] sein !)
Nur für den Fall [mm] V=\IR^3 [/mm] und falls die kanonische Basis [mm] \mathcal{E}=(e_1,e_2,e_3) [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] benutzt wird, stimmen die Zahlenwerte des Objektes an sich (Zeilenschreibweise) und seine Koordinaten bzgl. [mm] \mathcal{E} [/mm] (Spaltenschreibweise) überein.
Gruß Sax.
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Vielen Dank für die Antwort.
Darf ich diese Schreibweise dann in meiner Berechnung des Gram-Schmidt-Verfahrens verwenden und beide Schreibweisen mischen? Ich arbeite im [mm] \IR^3[/mm]
Oder sollte ich mich für eine entscheiden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
die Spaltenschreibweise ist zur Darstellung eines Vektors bezüglich einer Basis angemessen.
Dagegen sind die Basisvektoren, wenn wir sie als Elemente des [mm] \IR^3 [/mm] ansehen, natürlich selbst Tripel von Zahlen und daher in der Zeilenschreibweise zu notieren.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Grapadura |
Danke für die Antwort, ich denke ich habe verstanden was du mir sagen wolltest.
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Hallo,
also ein Vektor ist ja nix anderes als eine [mm] $n\times{1}$ [/mm] Matrix. Um das ganze mal "übertrieben" auszudrücken.
Damit könntest du den Vektor "hinlegen" indem du diese Matrix transponierst. Du könntest also das ganze so schreiben
[mm] \vektor{x\\y\\z}=(x\quad{}y\quad{}z)^t
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> also ein Vektor ist ja nix anderes als eine [mm]n\times{1}[/mm]
> Matrix. Um das ganze mal "übertrieben" auszudrücken.
ich stelle das mal sprachlich und mathematisch korrekt dar, was eigtl. gemeint
ist:
Etwa jeder "übliche Vektorraum [mm] $\IR^n$" [/mm] kann mit [mm] $\IR^{n \times 1}$ [/mm] identifiziert werden.
Ansonsten hätte die Übertreibung oben doch wirklich ein zu großes
Ausmaß. 
(Und man kann das, was ich sagte, noch ein wenig genauer und
allgemeiner formulieren: Sei [mm] $V\,$ [/mm] ein [mm] ($\IN \ni$) $n\,$-dimensionaler [/mm] VR über ...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> mit der Aufgabenstellung komme ich gerade zurecht, nur
> weiss ich nicht, ob das wie ich es aufschreibe so
> vertretbar ist.
> Ich mache gerade ein wenig Gram-Schmidt-Verfahren zum
> finden einer Orthonormalbasis.
> Einmal schreibe ich die Vektoren so: [mm]\vektor{x \\ y \\z}[/mm]
> und dann wenn es mir in der Rechnung besser passt, wegen
> einem Bruchstrich z.b. so: (x,y,z).
> Meine Frage ist: Kann ich das beides in einer Rechnung so
> verwenden, bzw sind die beiden überhaupt gleichbedeutend?
> In meinen Unterlagen kann ich hierzu gerade nichts finden.
schreib' doch mal genauer hin, was Du machst. Was Sax gesagt hat, kann
man als eine Konvention so ansehen, es ist aber keineswegs ein "MUSS".
Tatsächlich ist es doch so, dass ein Vektor ein Element eines Vektorraums
ist - ein Vektorraum ist ein Konstrukt, das gewissen Axiomen genügt. Nun
kann man etwa
[mm] $\IR^3:=\{f \colon \{1,2,3\} \to \IR:\;\;f \text{ ist eine Abbildung}\}$
[/mm]
definieren - und man setzt für $r [mm] \in \IR$ [/mm] und $f,g [mm] \in \IR^3$
[/mm]
$f [mm] \oplus g\,$
[/mm]
und
[mm] $r\odot f\,$ [/mm]
fest durch
$(f [mm] \oplus [/mm] g)(x):=f(x)+g(x)$ ($x [mm] \in \IR$)
[/mm]
und
$(r [mm] \odot f)(x):=r*f(x)\,$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$).
[/mm]
Weil das per Definitionem so schön die "punktweisen Rechenoperationen"
sind, schreibt man dann auch nur noch $f+g:=f [mm] \oplus [/mm] g$ und $r f:=r*f:=r [mm] \odot [/mm] f.$
Nun kann das obige spezielle kartesische Produkt namens [mm] $\IR^3$ [/mm] auch mit
[mm] $\IR^{3 \times 1}$
[/mm]
oder
[mm] $\IR^{1 \times 3}$
[/mm]
identifizieren durch Angabe eines Vektorraumisomorphismus. Und von
daher ist es dann eigentlich egal, was man schreibt, ob man Zeilen- oder
Spaltenvektoren benutzt.
Du musst allerdings aufpassen, dass die Rechenoperationen zueinander
passen - so kannst Du ja nicht eine 3x1-Matrix mal einem [mm] "$\IR^3$-Spaltenvektor"
[/mm]
rechnen - da muss dann erst der Spaltenvektor stehen und dahinter dann
die Matrix.
Und das man das Matrixprodukt eigentlich auch anders hätte einführen
können, das habe ich schonmal
hier (klick!)
illustriert.
Lies Dir aber gerne auch mal
das hier (klick!)
durch.
Übrigens, so grob kann man sagen bzw. ich vermute: Dass, was Sax
Dir gesagt hat, ist eine typische Sichtweise für Physiker, oder auch
Differentialgeometriker bzw. Tensoranalytiker (oder Tensoralgebraiker).
Aber wenn man sich "rein linear algebraisch" mit Deiner Frage befasst,
sehe ich keinen Grund für diese Konvention, siehe die obige Begründung
mit den Vektorraumisomorphismen.
P.S. Festlegen, ob für Dich der [mm] $\IR^3$ [/mm] nun [mm] $\IR^{3 \times 1}$ [/mm] oder [mm] $\IR^{1 \times 3}$ [/mm] ist,
solltest Du aber schon. Und dann gegebenenfalls halt das machen, was
Richie sagt: Wenn [mm] $\IR^3$ [/mm] der "Spaltenraum [mm] $\IR^{3 \times 1}$" [/mm] ist, Du aber einen
Vektor in Zeilennotation brauchst, dann transponierst Du das Ding eben.
Und immer wird
[mm] $(v^T)^T=v$
[/mm]
sein (ich schreibe immer ein großes T beim Transponieren).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Richie1401 |
> Übrigens, so grob kann man sagen bzw. ich vermute: Dass,
> was Sax
> Dir gesagt hat, ist eine typische Sichtweise für
> Physiker, oder auch
> Differentialgeometriker bzw. Tensoranalytiker (oder
> Tensoralgebraiker).
> Aber wenn man sich "rein linear algebraisch" mit Deiner
> Frage befasst,
> sehe ich keinen Grund für diese Konvention, siehe die
> obige Begründung
> mit den Vektorraumisomorphismen.
Hallo Marcel,
geht man auch nach dem Formalismus von Dirac, dann kann man ja auch ruhig mal den Begriff des Bra-Vektor und des Ket-Vektors einführen. Wobei alles zusammen in die Funktionalanalysis führt. Doch es lässt sich in irgendeiner Art und Weise schon übertragen.
Dann definiert man den Bra-vektor als $<v|$ und den Ket-Vektor als $|v>$. Wobei im funktionalanalytischen Sinne der Bra-vektor aus dem Dualraum V* und der Ket-Vektor ein Element aus dem Vektorraum V ist.
Man kann nun aber auch mal folgendes machen: Man sagt, dass [mm] |v>\in\IR^{n\times{1}} [/mm] und [mm]
Für obige Frage führt das sicherlich viel zu weit. Doch für den ein oder anderen Physiker könnte das schon einmal interessant sein. Dirac "erfand" diese Schreibweise natürlich für die Quantenmechanik, also durchaus für funktionalanalystische Betrachtungen. Aber nicht zuletzt durch Heisenberg wissen wir ja, dass auch Matrizen/Vektoren/... in der Quantenmechanik durchaus einen Platz verdient haben - unbeachtet, dass es unendlich-dimensionale Matrizen sind.
>
> P.S. Festlegen, ob für Dich der [mm]\IR^3[/mm] nun [mm]\IR^{3 \times 1}[/mm]
> oder [mm]\IR^{1 \times 3}[/mm] ist,
> solltest Du aber schon. Und dann gegebenenfalls halt das
> machen, was
> Richie sagt: Wenn [mm]\IR^3[/mm] der "Spaltenraum [mm]\IR^{3 \times 1}[/mm]"
> ist, Du aber einen
> Vektor in Zeilennotation brauchst, dann transponierst Du
> das Ding eben.
> Und immer wird
>
> [mm](v^T)^T=v[/mm]
>
> sein (ich schreibe immer ein großes T beim
> Transponieren).
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> Gruß,
> Marcel
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