Frage zu Numerik (LR Zerlegung < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Kix |
Hallo!
Hätte ein kurze Frage zu Numerik:
Gegeben sei eine beliebige 3x3 Matrix. Nun soll man durch Zeilen-Vertauschung die Matrix so umformen, dass diese LR-zerlegbar ist. wie kann man also gleich durch "hinschauen" erkennen ob eine Zeilenvertauschung notwendig ist oder nicht? Wenn man anfängt zu rechnen wird es irgendwann klar, welche Zeilen man vertauschen soll, doch gibt's ne Möglichkeit dies gleich zu sehen, bevor man überhaupt anfängt, die LR Zerlegung zu machen, welche Zeilen vertauscht werden sollen?
Danke!
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mo 14.03.2005 | | Autor: | epee |
Hi Kix,
Nun, die Vorraussetzung für eine LR-Zerlegung ist, dass die Matrix A regulär ist und kein Pivotelement Null ist. Warum?
A*x=b; mit der LR-Zerlegung machen wir aus A=L*R und lösen durch sogenanntes Vorwärts- und Rückwärtseinsetzten zwei andere Gleichugssysteme.
L*y=b und R*x=y --> A*x=b=L*y=L*R*x=A*x.
Da L eine Untere Dreiecksmatrix ist und auf der Hauptdiagonalen nur 1 stehen gibt es bei der Divison keine Problem. Würde ein Element Null sein, dann hast du eine Divison durch Null was nicht erlaubt ist. Noch besser ist wenn du immer die größten Werte als Pivotelemente nimmst, da du somit das rechnen mit Großenzahlen vermeidest und der Fehler nicht größer wird.
Also die Matrix muss regulär sein und das Pivotelement nicht Null bzw. so groß wie möglich.
Ich hoffe es hat geholfen,
alles Gute,
epee.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Kix |
Danke für die schnelle Antwort! Nun, es geht mehr um Pivot-Zeilen.
Ich werd versuchen ein Beispiel zu nennen.
sei die Matrix A gegeben:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1}
[/mm]
Laut Lösung muss man die ersten beiden Zeilen vertauschen. Ich versteh nicht wie man das ohne die LR-Zerlegung anzufangen, erkennen kann...
Viele Dank schon mal im Voraus!
Greets,
AA
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Hallo,
dass die 1. Zeile mit einer anderen Zeile getauscht werden muß, erkennt man daran, dass das erste Element in der 1. Zeile Null ist.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Kix |
Axo!!! Okay, alles klar, jetzt blick ich das glaub ich! Dauert bei mir immer ein wenig länger! ;)
Vielen Dank! Ihr seid echt hilfsbereit! Vielleicht kommen noch ein Paar fragen, da ich in 3 Wochen Klausur habe...
Viele Grüsse,
AA
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Di 15.03.2005 | | Autor: | epee |
Hi,
nochmal zum Pivotelement, der sog. Dreh- und Angelpunkt. Da die Hauptdiagonale für die LR-Zerlegung wichtig ist, sind auch hier deine Pivotelemente vertreten. Um die LR-Zerlegung überhaupt durchzuführen, muss die Matrix regulär und die Pivotelemente von Null verschieden sein.
Pivotelemente sind die Elemente einer Matrix, mit der ein Algorithmuss gestartet wird --> so kann man das sich merken.
Grüsse,
epee.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Kix |
Hallo!
Hab ein Beispiel gefunden bei dem ich wieder nur Bahnhof verstehe.
Gegeben sei A:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
Jetzt soll laut Lösung Zeile 2 mit Zeile 3 vertauscht werden. Ich versteh wieder nicht warum GENAU diese. Bin am verzweifeln!!! Ich dachte in der Diagonalen soll keine Null vorkommen, jetzt kommt sie aber doch vor wenn man es so vertauscht wie meine Lösung das vorgibt...
Danke im Voraus!
AA
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Do 24.03.2005 | | Autor: | epee |
Hi Kix,
versuche es mal ohne Musterlösung. Vertausche zuerstmal nix und Zerlege A in L und R. Dannach fang an mit dem Lösen von L*y =b und R*y=x.
Dann wird dir klar warum die Zeilen vertaucht werden sollen.
Alles Gute,
epee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Do 24.03.2005 | | Autor: | Kix |
Ja, dann wird es sonnenklar! *g*
Aber gibt`s einen Trick um das zu sehen, bevor man anfängt? Ich bin nicht faul, nur ist die Zeit in den Klausuren doch wie wir alle wissen sehr knapp, deswegen...
Big thanx,
AA
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Do 24.03.2005 | | Autor: | epee |
Hi Kix,
nun, warum hast du nicht gleich die erste Spalte mit der letzten Spalte vertauscht?
Hier ein nettes Programm zum ausprobieren:
http://www-user.tu-chemnitz.de/~chu/java/LRZerlegung.html
Alles Gute,
epee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Kix |
Ich glaub wir reden ein wenig aneinander vorbei! ;)
Mir ist es schon klar, dass ich Zeilen vertauschen muss, nur möchte ich wissen, wie ich die zu vertauschenden Zeilen sehe, ohne irgendwie anfangen zu müssen die Zerlegung vorzunehmen. Wie gesagt, in der Klausur würde das recht viel Zeit in Anspruch nehmen.
Gibts es echt keine andere Möglichkeit dies zu sehen, ausser durch Rechnung?
Viele Grüsse & Thanx,
-AA-
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Mi 30.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo.
> Mir ist es schon klar, dass ich Zeilen vertauschen muss,
> nur möchte ich wissen, wie ich die zu vertauschenden Zeilen
> sehe, ohne irgendwie anfangen zu müssen die Zerlegung
> vorzunehmen. Wie gesagt, in der Klausur würde das recht
> viel Zeit in Anspruch nehmen.
Das ist nur schwer nachvollziehbar.
Denn wozu brauchst Du das Wissen um das Vertauschen der
Zeilen, wenn nicht, um eine Zerlegung durchzufuehren bzw.
ein Gleichungssystem zu loesen?
A := [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
Zieh einfach mal die zweite und die dritte Zeile in Gedanken
von der ersten ab, dann siehst Du, dass in [mm] a_{2,2} [/mm] eine
0 steht, in [mm] a_{3,2} [/mm] aber nicht.
> Gibts es echt keine andere Möglichkeit dies zu sehen,
> ausser durch Rechnung?
Bei A sieht man sozusagen sofort, dass die zweite mit der dritten
Zeile vertauscht werden muss.
Du schreibst:
> Ich versteh wieder nicht warum GENAU diese. Bin am verzweifeln!!!
> Ich dachte in der Diagonalen soll keine Null vorkommen, jetzt kommt
> sie aber doch vor wenn man es so vertauscht wie meine Lösung das vorgibt...
Jeder Schritt veraendert ja Deine Matrix.
Das heisst, beim i-ten Schritt darf [mm]a_{i,i}[/mm] nicht null sein, weil
Du sonst durch 0 dividierst.
Was da vorher steht, ist insofern unbedeutend, weil sich die meisten
Werte in diesem Schritt veraendern.
Hier siehst Du aber sofort, dass der erste Schritt eine 0 in [mm] a_{2,2}
[/mm]
erzeugt.
Denn es ist ja in [mm] A_2: a_{{2,2}_2} [/mm] = [mm] a_{{2,2}_1} [/mm] - [mm] a_{{1,2}_1}*a_{{2,1}_1} [/mm] - [mm] a_{{1,1}_1} [/mm] = 0.
Da die Matrix nur 3x3 ist, kann dann nur noch die 2. mit der 3. Zeile
vertauscht werden.
Gruss,
Monika.
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Hallo Kix,
> Gegeben sei A:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Jetzt soll laut Lösung Zeile 2 mit Zeile 3 vertauscht
> werden. Ich versteh wieder nicht warum GENAU diese.
Diese Vertauschung ist natürlich nicht eindeutig. Je nachdem welches Pivotelement man wählt. Für dieses Bsp. könnte man auch die 1. mit der 3. Zeile tauschen dann kann man die LR Zerlegung sofort sehen.
[mm]L=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }[/mm]
[mm]R=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
Dieser "Trick" funktioniert wenn Du durch Vertauschung obere/untere Dreiecksmatrizen erzeugen kannst. Aber allzusehr würd ich mich nicht darauf verlassen das das klappt. 
Es gibt halt nur spezielle Vertauschungen für spezielle Fälle. i.A. muß man rechnen.
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Mi 30.03.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo.
> > Gegeben sei A:
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }[/mm]
> >
> > Jetzt soll laut Lösung Zeile 2 mit Zeile 3 vertauscht
> > werden. Ich versteh wieder nicht warum GENAU diese.
Das ergibt sich durch Rechnen.
Naemlich genau nach dem ersten Schritt.
Du vertauschst die Zeilen, insofern nicht bereits [mm] a_{1,1} [/mm] = 0
ja erst beim Rechnen!
Es sei denn, es gibt einen so schoenen Trick, wie hier.
Aber wie mathemaduenn sagt:
...
> allzusehr würd ich mich nicht darauf verlassen das das
> klappt.
Und da beim "gewoehnlichen" Rechnen vor dem ersten
Schritt keine Vertauschung vorgenommen wird, kommst Du
in den zweiten Schritt und hast nur noch 2 Zeilen uebrig.
Da die aktuell Zweite aber zu einer Nulldivision fuehrt und
es an dieser Stelle sehr sinnlos ist, noch mit einer
Darueberstehenden zu tauschen, bleibt nur noch die Dritte.
Irgendwie scheint es, als wuerdest Du meinen, Du muessest
die Zeilen vor Beginn der Rechnung schon an der richtigen
Position haben.
Ist aber nicht so.
Gruss,
Monika.
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Hallo,
Das mag für das aktuelle Bsp., wegen der viele Einsen, egal sein. Da es aber ums schnelle (Kopf-)Rechnen gehen soll noch ein Hinweis:
Man sucht sich möglichst eine Pivotzeile mit vielen Nullen(außer dem Pivot selbst nat.  ) Wenn man dann noch aus mehreren Zeilen wählen kann ist eine 1 als Pivot natürlich besonders schön. Von daher ist die erste gegen die letzte Zeile tauschen die vernünftigste Strategie, aber das hatte ja epee schon vorgeschlagen. Nur das Prinzip wollt ich nochmal angeben.
gruß
mathemaduenn
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